Enunciado

a) mostre que se X   e   Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição gama com parâmetros α , λ   e     β , λ , respectivamente, então X + Y é uma variável aleatória gama com parâmetro ( α + β , λ ) .

b) utilizando-se do resultado em (a) e o princípio da indução, mostre que se X i ,   i = 1 , … , n , são variáveis aleatórias independentes com distribuição gama com parâmetro α i ,   λ ,   i = 1 , … , n , então ∑ i = 1 n X i é uma variável aleatória gama com parâmetros ( ∑ i = 1 n α i , λ ) .

c) se X 1 , … , X n são n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com parâmetro λ , qual a distribuição de S = ∑ i = 1 n X i ?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele deseja determinar:

a) mostre que se X   e   Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição gama com parâmetros α , λ   e     β , λ , respectivamente, então X + Y é uma variável aleatória gama com parâmetro ( α + β , λ ) .

b) utilizando-se do resultado em (a) e o princípio da indução, mostre que se X i ,   i = 1 , … , n , são variáveis aleatórias independentes com distribuição gama com parâmetro α i ,   λ ,   i = 1 , … , n , então ∑ i = 1 n X i é uma variável aleatória gama com parâmetros ( ∑ i = 1 n α i , λ ) .

c) se X 1 , … , X n são n variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com parâmetro λ , qual a distribuição de S = ∑ i = 1 n X i ?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera para determinarmos a variável aleatória, começando pela letra (a) é que,

p c ≤ x ≤ d = p c ≤ x ≤ d = p c < x ≤ d = p ( c < x < d )

Tem sido dado os parâmetros,

x + y → α , λ   e   ( β , λ )

Com isso temos,

f x + y = ∫ α β f x d x

Definindo a integral como,

f x = d F ( x ) d x

Determinando,

f x = p α < x < β = ( α + β )

Já na letra (b) utilizando o resultado de (a) que vale ( α + β ) para mostrar que,

X i ,   i = 1 , … , n

São variáveis aleatórias em que

∑ i = 1 n ( α i λ )

Ficando,

∑ i = 1 n α + β = ( 1 , … , n )

Logo,

∑ i = 1 n α + β = ( 1 , 2 , … , n + 1 )

E por fim na letra ( c ) para se X 1 , … , X n tem n variáveis aleatórias com parâmetro λ temos,

S = ∑ i = 1 n X i

Realizando sua distribuição por,

∑ i p X i = 1

Com as coleções dos pares X i , p x i ,   i = 1,2 , … , n denominada distribuição de probabilidade, podendo ser definida como,

S = { 1,2 , 3,4 , 5,6 , … }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) f x = p α < x < β = ( α + β )

b) ∑ i = 1 n α + β = ( 1,2 , … , n + 1 )

c) S = { 1,2 , 3,4 , 5,6 , … }

Exercícios de Livros Relacionados

As v.a. X e Y têm distribuição conjunta dada por:Faça um gráfico do domínio de variação de x e y.
As v.a. X e Y têm distribuição conjunta dada por:Prove que∬ f ( x ,y ) d x d y=1 .
Calcule as densidades marginais e condicionais para a v.a. (X, Y), com f.d.p. f ( x ,y )=( 1 / 64 ) ( x+y ) ,0≤x≤4 ,0 ≤ y ≤ 4 .
Calcule as esperanças condicionais E(Y|x) e E(X|y) para o Problema 22.
A distribuição de notas de certo tipo de teste é normal com μH = 70 e σH = 10 para os homens e μM = 65 e σM = 8 para as mulheres. Se esse teste for proposto numa classe na qual o número de homens é ig