Enunciado

O número de chegadas de clientes a um banco foi anotado minuto a minuto para uma amostra de 70 períodos (de um minuto). Os dados foram os seguintes:

O modelo de Poisson foi proposto para modelar essas chegadas, qual a sua opinião?

Passo 1

Mais uma vez, nessa questão temos de realizar o que chamamos de “Teste de aderência”, nada mais é do que uma artimanha para ver se os valores coletadas estão de acordo com um determinado modelo.

Beleza, antes de seguir, vamos definir quem é a variável que estamos estudando:

X = n ú m e r o   d e   c h e g a d a s   e m   u m   m i n u t o .

A partir disso, queremos testar:

H 0 : X ~ P o i s s o n λ       c o n t r a       H 1 : X   t e m   o u t r a   d i s t r i b u i ç ã o .

O teste será feito aproximado por uma distribuição Q u i - q u a d r a d o , da seguinte forma:

Q 2 = ∑ i = 1 t o i - E i 2 E i ~ X t - 1 2 d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - q u a d r a d o   c o m   t - 1 g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde t representa a quantidade de categorias, no nosso caso t = 8 categorias. E o i é a frequência observada para cada categoria.

Já o E i é a frequência ESPERADA para cada categoria se essa variável realmente tivesse a distribuição sugerida; ou seja, temos de encontrar esse valor.

Mas o enunciado não nos deu um valor para λ , teremos de encontrar, sabendo que ele representa a quantidade média de pessoas que esperamos ver no banco em cada minuto:

λ = 9 * 0 + 15 * 1 + 17 * 2 + 11 * 3 + 7 * 4 + 5 * 5 + 4 * 6 + 2 * 7 9 + 15 + 17 + 11 + 7 + 5 + 4 + 2 = 173 70

λ ≅ 2,47

Passo 2

Agora sim conseguimos encontrar as frequências que esperamos obter a partir do modelo de Poisson, lembrando que a função de probabilidade é dada por:

P X = x = e - λ λ x x !

Vamos achar o seguinte:

E 1 = 70 * P X = 0 = 70 e - 2,47 2,47 0 0 ! ≅ 5,92

E 2 = 70 * P X = 1 = 70 * e - 2,47 2,47 1 1 ! ≅ 14,62

E assim por diante até:

E 8 = 70 * P X > 6

Repare que:

P X > 6 = 1 - P X ≤ 6 =

= 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + ( P X = 4 + P X = 5 + P ( X = 6 )

Já encontramos todas, basta então somar e pegar o resto:

P X > 6 = 1 - 0,98648 ≅ 0,01352

Então:

E 8 = 70 * 0,01352 ≅ 0,9464

Coloquei na tabela abaixo todas as frequencias esperadas pra você conferir:

Bateu tudo aí? Show dybola, agora tem dois pontos muito importantes... Pay attention agora!!

  1. Toma cuidado com as aproximações, isso porque a soma das frequencias esperadas (aquelas que você acabou de calcular) tem que ser igual a 70 (soma das frequencias que já estavam na tabela).
  2. Uma outra regrinha muito doida, a gente simplesmente não pode ter frequencias esperadas menores do que 5...

Eu sei... mas calma, quando encontrar frequencias menores do que 5, tudo que precisamos fazer é “fundir” as categorias. Olha só na tabela a abaixo o que muda:

Passo 3

Percebeu? Juntamos as três categorias que tinham frequencia ESPERADA menor do que 5. É só isso.

Obs: fizemos isso somente porque as frequencias esperadas tinham valores menores do que 5; não fazemos isso olhando para as frequencias observadas. Mas claro que, uma vez tendo que fazer a fusão das categorias, devemos somar também as frequencias observadas.

Para terminar o teste, temos que definir uma região crítica, como o enunciado não deu nenhum nível de significância, vamos tomar α = 5 % ; é o padrão.

Portanto a região crítica será do tipo:

R C = q o b s ∈ R q o b s ≥ q 0,05 }  

Devemos buscar na tabela de distribuição qui-quadrado, um valor q 0,05 tal que:

P X 0,05 2 ≥ q 0,05 = 0,05 = α

Para achar o queridinho, vamos na coluna de 5% e na linha de 6 - 1 - 1 = 4 graus de liberdade.

Pêra, por que? Lembra que eu falei no passo 1 que os graus de liberdade eram definidos por ( t - 1 ) onde t era o número de categorias?

Então, no começo da brincadeira tínhamos 8 categorias, só que precisamos fazer uma fusão lembra? Com isso ficamos com 6 categorias.

Tá então por que não temos 6 - 1 = 5 graus de liberdade???

Não vamos ter isso porque tivemos que estimar um parâmetro; se você lembrar o enunciado não deu o parâmetro λ pra gente, tivemos que tirar do c*.

E toda vez que temos que estimar algum parâmetro, a gente tem que tirar mais um grau de liberdade; por isso iremos buscar na linha de :

6 - 1 - 1 = 4   g r a u s   d e   l i b e r d a d e .

Infelizmente não!! Confuso demais né?? Mas vamo logo na tabela pra acabar essa tortura:

Então encontramos, q 0,05 = 9,488 ; portanto nossa RC fica assim:

R C = q o b s ≥ 9,488

Por último, podemos finalmente utilizar a qui-quadrado:

q o b s = 9 - 5,92 2 5,92 + 15 - 14,62 2 14,62 + 17 - 18,06 2 18,06 +

+ 11 - 14,87 2 14,87 + 7 - 9,18 2 9,18 + 11 - 7,35 2 7,35 ≅ 5,012  

E como encontramos q o b s ≅ 5,012 ele não pertence à região crítica; então devemos aceitar H 0 .

Resposta

Depois de tudo isso, concluímos que sim, o modelo de Poisson pode ser usado para estudar a chegada de pessoas no banco.

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