Enunciado

Alguns cientistas acreditam que em média 50 % dos materiais expelidos por erupções vulcânicas são constituídos de enxofre. Seja X   a massa de enxofre contida a cada 2 quilos de material vulcânico. Acredita-se que essa variável não tem distribuição Normal. Uma amostra de 100 caixas de 2 quilos desse material forneceu:

∑ i = 1 100 x i = 98 k g         e         ∑ i = 1 100 x i 2 = 100 k g 2

  1. Qual a distribuição de X - ?   Indique as suposições feitas.
  2. Formule as hipóteses e obtenha a região crítica para α = 5 % .
  3. Qual a conclusão do teste?
  4. Qual é a probabilidade de erro tipo I I , se os vulcões expelem 52 % de enxofre?

Passo 1

Antes de mais nada, vamos deixar bem claro quem é a variável aleatória até porque o enunciado faz uma baguncinha com porcentagem e quilogramas, então:

X = m a s s a   d e   e n x o f r e   a   c a d a   2   q u i l o s   d e   m a t é r i a   v u l c â n i c a . ( e m   k g )

Show, mas o enunciado diz que muito provavelmente X não segue uma distribuição Normal.

E agora?? Vou ter que adivinhar??

Mais ou menos, porque se você se lembrar a gente usa a aproximação pela normal padrão para realizar os testes, e para fazermos isso basta que X - siga uma distribuição normal.

Claro que, se X seguir uma normal, consequentemente X - também seguirá; mas ainda que X não siga, podemos usar o Teorema do Limite Central que diz que para amostras grandes, X - ~ N μ ; σ 2 n .

É só isso? Sim!

Agora perceba que não sabemos nada sobre a variância populacional, então devemos utilizar a seguinte aproximação:

T = X - - μ S 2 n ~ t n - 1 t - s t u d e n t   c o m   n - 1 g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde S 2 é a variância amostral, que pode ser calculada assim como X - :

X - = ∑ i = 1 100 x i n = 98 100 = 0,98 k g

E

S 2 = ∑ i = 1 100 x i 2 - n X - 2 n - 1 = 100 - 100 0,98 2 99 = 0,04 k g 2

Passo 2

Dessa forma, podemos formular o nosso teste:

H 0 : μ = 1 k g       c o n t r a       H 1 : μ ≠ 1 k g

Lembra que eles acreditavam que 50 %   da matéria expelida era enxofre? Então se estamos tomando 2 quilos de matéria, queremos tester se 1 k g é realmente enxofre.

O teste foi montado de forma que se rejeitarmos H 0 então teremos evidencias que dizem que a matéria não contém 1 k g   de enxofre; caso aceitemos então os cientistas estavam certos e temos evidências que mostram isso.

Beleza, agora precisamos da Região crítica:

R C = t 0 ∈ R   t 0 < - t α 2     o u     t 0 > t α 2 }  

Lembrando que na tabela de distribuição de t-student, as colunas fornecem um valor para p , tal que:

p 2 = α 2 → p = α

Quando a RC é BILATERAL; esse é o nosso caso.

Temos que encontrar o seguinte:

P T > t α 2 = α 2 = p 2 = 5 %

Mais uma vez lembrando que na tabela não temos valores de α , somente de p ; por isso saber que no caso bilateral p = α é crucial!!

Agora, basta ir na coluna de 5 % e encontrar o valor que está na intersecção com a linha de 99 graus de liberdade:

Não achou? É porque muitas tabelas não vão ter mesmo, é muito grau de liberdade pra pouca tabela!

Mas note que a variação nessas altura de grau é tão pouca, que podemos aproximar, vamos então utilizar:

t 0,025 ≅ 1,999

Portanto essa será nossa RC:

R C = t 0 < - 1,999     o u     t 0 > 1,999

Podemos ainda representar a região crítica em termos da média, utilizando a aproximação citada no passo 1 isolando o X - :

X - = t 0 S 2 n + μ  

Então se forçarmos o termo “ S 2 n + μ ” na RC, ficamos com (lembrando que o termo deve aparecer nos dois lados da inequação) :

R C = X - < - 1,999 0,02 + 1       o u         X - > 1,999 0,02 + 1

Portanto,

R C = X - < 0,96     o u       X - > 1,04

Passo 3

Só nos resta realizar o teste, sempre sob H 0 :

t 0 = 0,98 - 1 0,04 100 ≅ - 1

Isso significa que t 0 não pertence à RC, então devemos ACEITAR H 0 .

Ufa! Opa, pera que ainda não acabou, queremos o diaxo do erro I I   ainda, da uma segurada e vem comigo.

Você deve lembrar que a chance de aceitarmos a hipótese nula e ela ser falsa é exatamente o que chamamos de erro I I ; em outras palavras:

β = P e r r o   I I = P A c e i t a r   H 0 H 0   é   f a l s a )  

Quando a gente aceita H 0 mesmo? Ora foi o que acabamos de fazer, quando t 0 não está na RC.

Boa, é isso mesmo! Mas nesse caso precisamos trabalhar com a RC que está em termos da média; a idéia éque vamos aceitar H 0 quando X -   não estiver na RC.

Se R C = X - < 0,96     o u     X - > 1,04 então X - estará fora quando 0,96 < X - < 1,04 , ou seja:

P 0,96 < X - < 1,04 |   μ = 52 % = β

Agora, precisamos passar isso para a T   d e   t - s t u d e n t , só que dessa vez vamos utilizar o valor dado pelo enunciado para μ :

Se o enunciado diz que dessa vez 52 % da matéria será enxofre, então em dois quilos teremos 1,04 k g de enxofre.

P 0,96 - 1,04 0,02 < T < 1,04 - 1,04 0,02 = P - 4 < T < 0

Basta então procurar na tabela o valor de P T < - 4 = P T > 4 , sempre seguindo a linha de 99 graus de liberdade:

Mais uma vez você não achou, mas percebeu que nem existe o valor 4 nessa linha? Isso porque a probabilidade de T ser maior do que 4 é tão pequena, mas tão pequena que podemos dizer que é zero.

P T > 4 ≅ 0

Agora, lembrando que cada metade do gráfico tem 0,5 :

P 0 < T < 4 = 0,5 - P T > 4 = 0,5

Portanto:

P - 4 < T < 0 ≅ 0,5

Agora sim! UFAA!

Resposta

  1. Pelo T.L.C, para amostras grandes, podemos dizer que X - segue uma distribuição Normal.
  2. H 0 : μ = 1 k g       c o n t r a       H 1 : μ ≠ 1 k g ; e R C = X - < 0,96     o u       X - > 1,04   .
  3. Concluimos que existem evidências de que a massa de enxofre em dois quilos de matéria vulcânica, realmente é próxima de 50 % .
  4. β ≅ 0,5 .
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