Enunciado

Em uma escola de ensino médio, o desempenho dos alunos em matemática e física foi observado (ver tabela a seguir) para testar se existe dependência entre as duas disciplinas.

Calcule o nível descritível. Qual a decisão, ao nível de significância de 2% ?

Passo 1

Beleza, antes de qualquer coisa perceba que queremos testar a dependência entre as duas variáveis:

X = n o t a s   e m   M a t e m á t i c a .

E

Y = n o t a s   e m   F í s i c a .

então teremos o seguinte teste de hipótese:

H 0 : X   e   Y   s ã o   i n d e p e n d e n t e s       c o n t r a           H 1 : X   e   Y   s ã o   d e p e n d e n t e s

É o que chamamos de “Teste de independência”. Ahvá!

Beleza, mas como funciona esse rolê? É o seguinte, vamos precisar encontrar um valor esperado para cada CÉLULA, ou seja:

E 1,1 = T o t a l   l i n h a   1 T o t a l   c o l u n a   1 T o t a l   G e r a l

E 1,2 = T o t a l   l i n h a   1 T o t a l   c o l u n a   2 T o t a l   G e r a l

E assim por diante, fazendo um arranjo das linhas e colunas. Chato pakas né?! Mas ainda piora...

Depois de fazer isso vamos precisar usar a aproximação pela Qui-Qadrado e calcular:

Q 2 = ∑ i = 1 t ∑ j = 1 s o i , j - E i , j 2 E i , j ~ X t - 1 s - 1 2

Onde t   e s representam as linhas e colunas respectivamente com t - 1 ( s - 1 ) graus de liberdade e o i , j é exatamente o valor dado em cada célula. Bugou aí? Mas calma, vamos juntos!

Passo 2

Vamos encontrar os valores esperados em cada célula então:

E 1,1 = 139 122 528 = 32,12

E 1,2 = 139 286 528 = 75,29

E 1,3 = 139 120 528 = 31,59

E 2,1 = 248 122 528 57,30

E 2,2 = 248 286 528 = 134,33

E 2,3 = 248 120 528 = 56,36

E 3,1 = 141 122 528 = 32,58

E 3,2 = 141 286 528 = 76,37

E 3,3 = 141 120 528 = 32,04

Com isso podemos montar uma tabelinha com esses valores:

Agora podemos calcular:

Q 2 = 46 - 32,12 2 32,12 + 71 - 75,29 2 75,29 + … + 40 - 32,04 2 32,04 ≅ 14,23

Deu isso aí também?? Espero que sim!

Passo 3

Agora, precisamos só obter o nível descritível que, se você lembrar, nada mais é do que a chance de eu ter um valor tão mais extremo quanto o que eu acabei de encontrar, ou seja:

α * = P Q 2 > 14,23 =   ?

É isso que precisamos buscar na tabela de distribuição Qui-quadrado; a probabilidade p de termos um valor maior do que 14,23 , buscando na linha de 3 - 1 3 - 1 = 4 graus de liberdade:

Dependendo da tabela que você tiver em mãos terá que fazer interpolação, isso porque o valor que você procura estará “nas entrelinhas”(perceba que 14,23 está entre aqueles valores destacados).

lembrando como funciona isso:

1 - 0,2 13,277 - 16,924 = 1 - p 13,277 - 14,23

E aí é só isolar o p ≅ 0,79 % .

Calma que ainda não acabou, tamo quase lá!

Portanto acabamos de encontrar o nível descritível:

P Q 2 > 14,23 ≅ 0,79 %

Outra coisa que você tem que se lembrar é como interpretar esse tal nível, sabemos que se ele for muito pequeno, muito provavelmente H 0 será falsa.

Beleza fera, mas pequeno quanto??

Aí entra o nível de significância:

Se p - v a l o r < α então rejeitamos a hipótese nula

Se p - v a l o r ≥ α então aceitamos a hipótese nula

Agora sim podemos concluir, uma vez que o enunciado nos deu α = 2 % , e nosso p - v a l o r = 0,79 % então devemos REJEITAR H 0 .

Resposta

Com muito sacríficio encontramos um α * = p - v a l o r = 0,79 % e rejeitamos H 0 , portanto temos motivos para crer que as duas matérias apresentam sim dependência.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Teste se o uso de hospital independe do sexo para o Exemplo 14.3 .
Uma pesquisa sobre a qualidade de certo produto foi realizada enviando-se questionáriosa donas-de-casa pelo correio. Aventando-se a possibilidade de que os respondentesvoluntários tenham um particular
Para o Problema 22 do Capítulo 4 , teste se existe dependência entre os fatores: tendênciados alunos a prosseguir os estudos e classe social dos entrevistados.
Usando os dados abaixo, verifique descritivamente se existe dependência entre o número de filhos e o rendimento familiar (em reais). Em seguida, teste tal fato considerando um nível de significância d