Enunciado

O número médio diário de clientes de um posto de gasolina tem sido 250, com um desvio

padrão de 80 clientes. Durante uma campanha de 25 dias, em que os clientes recebiam

um brinde, o número médio de clientes foi 280, com um desvio padrão de 50. Você diria

que a campanha modificou a distribuição do número de clientes do posto? Descreva as

suposições feitas para a resolução do problema.

Passo 1

  Definindo nossa variável: X = n u m e r o   m é d i o   d e   c l i e n t e s   p o r   d i a

Do enunciado, temos:

N = 25   d i a s

μ = 250   c l i e n t e s     e     σ 2 = 80 2   c l i e n t e s 2

X - = 280   c l i e n t e s     e   S 2 = 50 2   c l i e n t e s 2

Considerando que a população tenha uma distribuição normal e adotando α = 5 % .

Passo 2

Primeiro temos de realizar o teste para saber se houve mudança na variância:

Q = n - 1 . S 2 σ 2 ~ X n - 1 2 (qui-quadrado, com n - 1   graus de liberdade).

Teste de hipótese: H 0 :   σ 2 = 80 2     e     H 1 :   σ 2 ≠ 80 2    

Vamos construir a Região crítica: RC={ q 0 ∈ R   t a l   q u e   q 0 < X 1 - 0,05 2 ; 24 2   o u   q 0 > X 0,05 2 ; 24 2 }

Onde: X 0,025 ; 24 2 = 39,364     e     X 0,975 ; 24 2 = 12,401  

Então nossa RC fica assim: R C = q 0 < 12,401   o u   q o > 39,364

Teste sob H 0 :

q 0 = 24   .   50 2 80 2 = 9,375

Como q 0 = 9,375 ∈ RC, rejeitamos H 0 , e existem evidencias de que a variância mudou.

Passo 3

Agora, podemos realizar o teste para a média, sabendo que a variância é desconhecida.

Para isso usamos a seguinte aproximação:

T = X - -   μ s 2 n   ~ t n - 1

Teste de hipótese: H 0 : μ = 250     e     H 1 : μ ≠ 250  

Novamente precisamos construir nossa região critica:

R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; 24   o u   t 0 > t α 2 ; 24  

Onde, da tabela de distribuição normal: t 0,025 ; 24 = ± 2,064

Lembrando que na distribuição de t-student, quando temos uma RC bilateral p 2 = α 2 = 0,025 → p = 5 %

Portanto nossa região critica assume a seguinte forma:

R C = z 0 < - 2,064   o u   z 0 > 2,064

Teste sob H 0 :

t 0 = 280 - 250 50 2 25 = 3

Como z 0 = 3 ∈ RC, rejeitamo H 0 , e então existem evidencias de que o numero médio de clientes alterou devido a campanha

Resposta

Podemos concluir que a campanha alterou o número médio de clientes durante os 25 dias no posto de gasolina.

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