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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 12.Problemas - 22

O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos, com um

desvio padrão de 15 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e,

após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de

execução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12

minutos. Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada? Em caso afirmativo, estime o novo tempo médio de execução. (Apresente as suposições teóricas

usadas para resolver o problema.)

Passo 1

  Vamos começar definindo nossa variável:

X = t e m p o   e x e c u ç ã o   d e t e r m i n a d a   t a r e f a   ( m i n u t o s )

Do enunciado temos o seguinte:

N = 16   o p e r á r i o s

μ = 100 min ⁡   e     σ 2 = 15 2   m i n u t o s 2

X - = 85 min ⁡ e   S 2 = 12 2 m i n u t o s 2

Considerando que a população tenha distribuição normal, e as amostras sejam aleatórias, tomando α = 5 % .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro precisamos realizar o teste para saber se houve mudança na variância, usando a seguinte aproximação:

Q = n - 1 . S 2 σ 2 ~ X n - 1 2 (qui-quadrado, com n - 1   graus de liberdade).

Teste de hipótese: H 0 :   σ 2 = 15 2     e     H 1 :   σ 2 ≠ 15 2    

Vamos construir a Região crítica: RC={ q 0 ∈ R   t a l   q u e   q 0 < X 1 - 0,05 2 ; 15 2   o u   q 0 > X 0,05 2 ; 15 2 }    

Com, X 0,025 ; 15   2 = 27,488     e     X 0,975 ; 15 2 = 6,262

Logo, nossa região critica fica assim:

R C = q 0 < 6,262   o u   q 0 > 27,488

Teste sob H 0 :

q 0 = 15   .   12 2 15 2 = 9,6

Portanto, q 0 = 9,6 não pertence à RC, não rejeitamos H 0 e então temos evidencias de que a variância não mudou.

Passo 3

Agora, podemos fazer o teste para a média, considerando que temos uma variância conhecida.

Para isso usamos a seguinte aproximação:

Z = X - -   μ σ 2 n   ~ N ( 0,1 )

Teste de Hipótese: H 0 :   μ = 100     e     H 1 :   μ < 100

Novamente, vamos construir a região critica:

R C = z 0 ∈ R z 0 < - z 0,05 = z 0 < - 1,64

Lembrando que na distribuição normal com RC unilateral, temos p = 0,5 - α = 0,5 - 0,05 = 0,45

Teste sob H 0 :

z 0 = 85 - 100 15 2 16 = - 4

Portanto, z 0 = - 4 ∈ R C , devemos rejeitar H 0 ; e então existem evidencias de que o tempo médio para executar uma tarefa foi reduzido.

Resposta

Concluimos que houve uma redução do tempo gasto para executar uma tarefa, fato que configura uma melhora devido à modificação implementada.

Para estimar o novo tempo gasto, vamos construir um IC com α = 5 % :

I c μ ; 95 % = X - ± z 0,05 2   .   σ 2 n = 85   ± 1,96   .   15 2 16 = 77,65   ; 92,35

Ou seja, o novo tempo médio gasto para executar uma tarefa está entre 77,65 minutos e 92,35 minutos.

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