Enunciado

Obtenha a densidade de M para o caso de uma amostra de uma distribuição uniforme no intervalo (0, θ).

Passo 1

Do Problema 38, temos que a densidade de M é dada por

Portanto, precisamos calcular f ( m ) e F ( m ) para o caso de uma amostra de uma distribuição uniforme no intervalo (0, θ).

Passo 2

Sabemos que uma variável aleatória  X  tem distribuição Uniforme no intervalo  [ a , b ]  se sua função densidade de probabilidade for dada por:

f x = 1 b - a , x ∈ [ a , b ] 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Trazendo para o nosso problema, temos

f x = 1 θ , x ∈ [ 0 , θ ] 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Já f.d.a. é dada por

F x = 0 ,     x < 0 x θ ,   x ∈ [ 0 , θ ] 1 ,     x > θ

Passo 3

Substituindo em f M m = F M ' m = n F m n - 1 f ( m ) , temos

f M m = n F m n - 1 f m = n m θ n - 1   1 θ = n m n - 1 θ n ,       m ∈ [ 0 , θ ]

Resposta

f M m = n m n - 1 θ n ,       m ∈ [ 0 , θ ]

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