Enunciado

Obtenha as estimativas das variâncias e covariân

cias dos estimadores bxe b, do Exercício 12.2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Podemos obter as variâncias de b's através dos elementos da matriz inversa A - 1 = X ' X - 1 . A matriz, A - 1 além do multiplicador, σ 2 representa a matriz de variância-covariância dos coeficientes de regressão estimados. Ou seja, os elementos da matriz A - 1 σ 2 exibem as variâncias de b 1 , … , b k na diagonal principal e covariâncias na diagonal off. Aqui a matriz A - 1 σ 2 é simétricac, portanto podemos escrever

σ b i 2 = c i i σ 2  for  i = 0,1 , 2 , … … … … k σ b i b j = C o v ⁡ b i , b j = c i j σ 2 , i ≠ j

Passo 2

Para o problema, os elementos da matriz inversa são

X ' X - 1 = 2.45026 - 0.0021337 - 0.533873 - 0.00213 0.0000023 0.000000 - 0.53387 0.0000000 0.788975

E o erroou soma do quadrado é

s 2   = S S E n - k - 1   = 1.48573 9 = 0.16508

Passo 3

Agora vamos estimar a variância e covariância dos estimadores b 1 e b 2 . E usando a b = X ' X - 1 X ' y relação, os coeficientes de regressão estimados são b 0 = - 3.32 ,   b 1 = 0.00362 e b 2 = 0.948 Variância de b 1 :

σ b 1 2   = c 11 σ 2   = 0.0000023 × 0.16508   = 3.7968 × 10 - 7

Passo 4

Variação de b 2 :

σ b 2 2   = c 22 σ 2   = 0.788975 × 0.16508   = 0.13024

Covariância:

σ b 2 b 1   = C o v ⁡ b 1 , b 2   = c 21 σ 2   = - 0.53387 × 0.16508   = - 0.08813

Resposta

Resposta nos passos.

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Mostre os passos necessários ao converter a equaçâo r = b s / S m para a forma equivalente t = r n - 2 1 - r 2 .
Mostre que, no caso de um ajuste por mínimos quadrados do modelo de regressáo linear simples, Y i = α + β x i + ϵ i ,i = 1,2 , … , n ,∑ i = 1 n     y i - y ˆ i = ∑ i = 1 n     e i = 0 .
Suponha que um pesquisador postule um modelo do tipo Y i = α + β x 1 i + ϵ i ,i = 1,2 , … , n , quando, na verdade, uma variável adicional, digamos x 2 , também contribui linearmente para a resposta.
Em relação ao Exercício 11.6, construa(a) um intervalo de confiança de 95% para a nota mé­dia no curso dos estudantes que fizeram 35 pontosno teste de colocação.(b) um intervalo de predição de 95% par
Teste a linearidade da regressão do Exercício 11.5.Use o nível de significância de 0,05. Comente.