Enunciado

A porcentagem anual média da receita municipal empregada em saneamento básico em pequenos municípios de um estado tem sido 8 % (admita que esse índice se comporte segundo um modelo Normal). O governo pretende melhorar esse índice e, para isso, ofereceu alguns incentivos. Para verificar a eficácia dessa atitude, sorteou 10 cidades e observou as porcentagens investidas no último ano. Os resultados foram (em porcentagem):

8 ; 10 ; 9 ; 11 ; 8 ; 12 ; 16 ; 9 ; 11   e   12

Os dados trazem evidencia de melhoria, ao nível de 2 % ?

Caso altere a média, dê um intervalo de confiança para a nova média.

Passo 1

Eaae, primeiro de tudo vamos definir a nossa variável, para não bagunçar tudo:

X = p o r c e n t a g e m   a n u a l   d a   r e c e i t a   m u n i c i p a l   e m p r e g a d a   e m   S a n e a m e n t o .  

Beleza, pelo enunciado já sabemos que X ~ N 8 ; σ 2 ; agora perceba que não temos dado algum sobre a variância populacional, então devemos utilizar a seguinte aproximação:

T = X - - μ S 2 n ~ t n - 1 ( t - s t u d e n t   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e . )

Onde, esse S 2 é a variância amostral, e assim como a média amostral vamos ter de calcular com base nos valores obtidos. Vamos lá:

X - = ∑ i = 1 n x i n = 8 + 10 + 9 + 11 + 8 + 12 + 16 + 9 + 11 + 12 10 ≅ 10,6

E

S 2 = ∑ i = 1 n x i 2 - n X - 2 n - 1 = 1176 - 10 10,6 2 9 ≅ 5,82

Passo 2

Beleza, vamos definir o nosso teste de hipótese:

H 0 : μ = 8 %       c o n t r a         H 1 : μ > 8 %

Perceba que queremos testar se houve ou não melhoria, se rejeitarmos H 0 então teremos evidências de que o investimento médio em saneamento foi maior, indicando uma melhoria.

Por outro lado se aceitamos H 0 não teremos evidências de que ocorreu um aumento nos investimentos.

Top! Agora vamos buscar nossa região crítica, adotando α = 2 % :

R C = t 0 ∈ R t 0 > t α )

Lembrando que teremos uma Rc unilateral superior, pois é a hipótese alternativa quem define isso; portanto se H 1 apresenta o sinal de maior ( > ) a RC pega esse sinal pra ela.

Agora falando sobre a tabela de distribuição de t-student, ela sempre nos da colunas com valores p para os quais:

P T < t = P T > t = p 2

Mas temos:

P t 0 > t 0,02 = 0,02 = α

E como nossa RC é UNILATERAL , então:

p 2 = α → p = 0,04

É justamente nessa coluna que vamos olhar, e buscar a intersecção dela com a linha de 10 - 1 = 9 graus de liberdade

Ou seja:

P T > 2,398 = 0,04 = p

Etnão nossa RC será:

R C = t 0 > 2,398

Passo 3

Por último, vamos realizar o teste sob H 0 :

t 0 = 10,6 - 8 5,82 10 ≅ 3,41

Portanto, t 0 = 3,41 ∈ R C , devemos REJEITAR H 0 .

Com isso, devemos fazer mais uma coisinha, um IC.

Ele tem a seguinte forma:

I C μ ; 98 % = X - ± t α 2 S 2 n

Dessa vez teremos t 0,01 em vez de t 0,02 , percebeu? Isso porque estamos fazendo um intervalo BILATERAL, e quando isso ocorre:

p 2 = α 2 → p = α

Então para obter o tal t vamos olhar agora na coluna de 2 % :

Portanto:

P T < - 2,821 = P T > 2,821 = 0,02

Com isso, encontramos t = 2,821 , basta substituir e obter o IC:

I C μ ; 98 % = 10,6 - 2,821 0,763 < μ < 10,6 + 2,821 0,763

E

I C μ ; 98 % = 8,44 < μ < 12,75

Percebeu como o 8 % não está no intervalo, fato que comprova um aumento no investimento médio em saneamento.

Resposta

Existem evidencias de que, após o incentivo do governo, os municípios aumentaram o investimento médio anual em saneamento básico.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9-20.Um fabricante esta interessado na voltagem de saida de um forne-cimento de energia usado em um computador pessoal.A voltagem desaidaconsiderada normalmente distribuida.com desvio-padraoiguala0.25
Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro λ . Para testar H 0 : λ = λ 0 contra H 1 : λλ 0 , o seguinte teste é proposto: Obtenha uma amostra de tamanho n, calcule a média X - , e r
Suponha-se que X tenha distribuição N μ , σ 2 com σ ² ² conhecido. Para testar H 0 : μ = μ 0 contra H 1 : μ ≠ μ 0 propõe-se o seguinte procedimento: Obter uma amostra de tamanho n e rejeitar H0 sempre
Suponha-se que X tenha distribuição N μ , σ 2 com σ ² ² conhecido. Para testar H 0 : μ = μ 0 contra H 1 : μμ 0 propõe-se o seguinte procedimento: Obter uma amostra de tamanho n e rejeitar H0 sempre qu
9-32.U ma hipotese sera usada para testar que uma nedia da populacaoeigual a5 contra a alternaliva te que a media da populacaoemenor doque 5.com variancta conhecida o.Quale o valor critico para a esta