Enunciado

Uma indústria registra, em cada semana, o número de dias em que ocorrem acidentes de trabalho. Para uma amostra de 200 semanas, verifique se os dados apresentados a seguir, aderem ao modelo Binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,2   (use um nível de significância de 10 % ).

Passo 1

Temos, neste exercício, mais um teste de aderência; queremos verificar se o modelo binomial realmente é adequado para a variável:

X = n ú m e r o   d e   d i a s   c o m   a c i d e n t e   e m   u m a   s e m a n a .

Portanto teremos o seguinte teste:

H 0 : X ~ B i n o m i a l 5 ; 0,2       c o n t r a         H 1 : X   s e g u e   o u t r o   m o d e l o

O teste será feito aproximado por uma distribuição Q u i - q u a d r a d o , da seguinte forma:

Q 2 = ∑ i = 1 t o i - E i 2 E i ~ X t - 1 2 d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - q u a d r a d o   c o m   t - 1 g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde t representa a quantidade de categorias, no nosso caso t = 5 categorias. E o i é a frequência observada para cada categoria.

Já o E i é a frequência ESPERADA para cada categoria se essa variável realmente tivesse a distribuição sugerida; ou seja, temos de encontrar esse valor.

Passo 2

Então vamos começar obtendo essas frequências esperadas:

Se você recordar bem, um modelo binomial calculamos assim as probabilidades:

P X = x = n x p x 1 - p n - x  

Onde:

n x = n ! x ! n - x !

Lembrou aí? Taca-lhe pal então:

E 1 = 200   . P X = 0 = 200 5 0 0,2 0 0,8 5 ≅ 65,54

Você pode estar se perguntando o porquê de multiplicarmos aqueles 200 ali!? Pois bem, se a probabilidade está falando assim “a chance de termos zero acidentes em UMA SEMANA”, já que definimos a nossa variável como sendo o nº de acidente em uma única semana; com isso a amostra foi feita tomando 200 semanas, então multiplicamos para estabelecer uma relação de proporcionalidade, “se temos p %   de chance de termos 0 acidentes em uma semana, em duzentas semanas teremos 200 p % .

Fazendo isso para todas as 5 categorias, chegamos na seguinte tabelinha:

Mas, presta bem atenção aqui agora... não podemos trabalhar com uma frequência esperada menor do que 5, então teremos que “fundir” as três últimas categorias; Estranho né?! Vê se olhando na nova tabela clarifica um bocado:

Foi mais ou menos??

Agora tem um detalhe, lembra que nossos graus de liberdade eram ( t - 1 ) , com t representando o número de categoria?até então tínhamos t = 5 , mas acabamos de fazer um “corte” e abrimos mão de uma categoria, ao fazer isso gente alterou o número de categorias, consequentemente vamos também ter de mudar a quantidade de graus em liberdade, agora teremos 4 - 1 = 3 g.l.

Chato pakas né?! Mas fé no pai...

Passo 3

Agora, temos que calcular o Q 2 sob H 0 :

q 0 = 64 - 65,54 2 65,54 + 56 - 81,92 2 81,92 + 40 - 40,96 2 40,96 + 40 - 11,584 2 11,584 ≅ 77,96

Para concluir o teste, precisamos ver se este valor está ou não dentro da zona crítica:

R C = q 0 ∈ R q 0 ≥ q c }  

Definindo α = 10 % , temos o seguinte:

P X 2 ≥ x 3 ; 0,10 = 0,10 = α

Ou seja, vamos na tabela de distribuição Qui-quadrado X 2 e olhar na coluna que representa 10%, na linha de 4 graus de liberdade:

Certo? Nãããoo... alteramos os graus de liberdade lembra?! Pay attention!

Vamos buscar na linha que representa 3 graus de liberdade:

Portanto:

P X 2 ≥ 6,251 = 0,10

Então q c = 6,251 , com isso a região crítica assume a seguinte forma:

R C = q 0 ≥ 6,251

Niitidamente você já deve ter percebido que o valor que obtivemos de q 0 está dentro da RC, e não é pouco dentro não.

Portanto, devemos rejeitar a hipótese nula, e concluir que o modelo Binomial não é adequado para estudar essa variável.

Resposta

Concluímos que o modelo Binomial com n = 5   e   p = 0,2 não é um bom modelo para representar o nº de acidentes em uma semana na indústria.

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