Enunciado

Uma professora de matemática deseja marcar uma reunião com cada um de seus oito assistentes, quatro homens e quatro mulheres, para discutir o curso de cálculo. Suponha que todas as sequências de reuniões sejam igualmente prováveis de serem escolhidas.

a) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma assistente mulher esteja entre as primeiras três pessoas com quem a professora se reunirá?

b) Qual é a probabilidade de que após as primeiras cinco reuniões ela tenha se reunido com todas as assistentes mulheres?

c) Suponha que a professora tenha os mesmos oito assistentes no semestre seguinte e marque reuniões sem considerar a ordem seguida no primeiro semestre. Qual a probabilidade de que a ordem dos compromissos seja diferente?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos resolver o item a)

Nesse item queremos estudar a probabilidade de que pelo menos uma assistente mulher esteja entre as primeiras três pessoas com quem a professora se reunirá.

Podemos facilitar nosso caso estudando complementar.

P ( n o u m a   m u l h e r   e n t r e   o s   3 ) = 1 - P ( n e n h u m a   m u l h e r   e n t r e   o s   3 )    

Usando a regra do produto, podemos concluir que:

P ( n o u m a   m u l h e r   e n t r e   o s   3 ) = 1 - 4 3 2 8 7 6 = 1 - 24 336 = 0,928    

Passo 2

Show! Vamos adiante. Resolvendo o item b)

Neste item queremos estudar a probabilidade de que após as primeiras cinco reuniões ela tenha se reunido com todas as assistentes mulheres.

Vamos estudar a probabilidade, para isso faremos uma razão dentre os casos favoráveis a todos os possíveis.

Os casos possíveis estarão descritos com uma combinação de 4 vagas para as 4 mulheres, e uma combinação da vaga restante para todos os homens.

Numericamente:

P t o d a s   a s   m u l h e r e s   e n t r e   a s   5 = 4 4 4 1 8 5 = 4 56 = 0.0714

Passo 3

Agora, por fim, vamos ao item c)

Vamos usar o complementar para resolver esse item.

P o r d e m   s e r   d i f e r e n t e = 1 - P o r d e m   i g u a l   n o s   d o i s   s e m e s t r e s

Ou melhor:

P o r d e m   s e r   d i f e r e n t e = 1 - p e d i d o s   d e   f o r m a   q u e   s e j a m   o s   m e s m o s   e m   a m b o s p e d i d o s   p o s s í v e i s   p a r a   2   s e m e s t r e s

Numericamente:

P o r d e m   s e r   d i f e r e n t e = 1 - ( 8 ) ( 7 ) ( 6 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) 8 7 6 5 4 3 2 1 ( 8 ) ( 7 ) ( 6 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )

P o r d e m   s e r   d i f e r e n t e = 0.99997520

Resposta

a) P ( n o u m a   m u l h e r   e n t r e   o s   3 ) = 0,928    

b) P t o d a s   a s   m u l h e r e s   e n t r e   a s   5 = 0.0714

c) P o r d e m   s e r   d i f e r e n t e = 0.99997520

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