Enunciado

Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número de seu emblema é anotado.

a) Qual é a probabilidade de que o menor número de emblema seja 5?

b) Qual é a probabilidade de que o maior número de emblema seja 5?

Passo 1

Nesse problema vamos usar bastante a ideia de combinação de simples:

C n , p = n ! p ! n - p !

Vamos calcular primeiro o total de forma diferentes que podemos escolher 3 pessoas dentre as 10 disponíveis:

C 10,3 = 10 ! 3 ! 7 ! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Esse será o denominador das probabilidades que vamos calcular!

Passo 2

No item (a) queremos a probabilidade que o menor número escolhido seja 5. Para isso, vamos fixar que o número 5 já foi escolhido. Falta escolher os demais dois números e, como 5 deve ser o menor, esses números só podem ser 6, 7, 8, 9 ou 10. Com isso, temos 5 opções para escolher duas:

C 5,2 = 5 ! 3 ! 2 ! = 10

Portanto, a probabilidade será

P = 10 120 → P = 1 12

Passo 3

No item (b) nós queremos a probabilidade de que o maior número seja 5. Com isso, além do 5 que já estará escolhido, temos que escolher mais dois números entre quatro disponíveis: 1, 2, 3 ou 4. Isso pode ser feito de C 4,2 formas diferentes:

C 4,2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6

Portanto, a probabilidade é

P = 6 120 = 1 20

Resposta

P = 1 12

P = 1 20

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