Enunciado

(a) Em quantas maneiras seis pessoas podem ser alinhadas para tomar um ônibus?

(b) Se três pessoas específicas, entre as seis, insistem em ficar uma seguida da outra, quantas maneiras possíveis existem?

(c) Se duas pessoas específicas, entre as seis, se recusam a seguir uma a outra, quantas maneiras são possíveis?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. As permutações são definidas pela seguinte função n ! , onde n é o número de objetos (pessoas). Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

São 6 pessoas para serem alinhadas entre o ônibus, então o cálculo se dá da seguinte forma:

6 ! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720   m a n e i r a s

Passo 3

Se três pessoas específicas insistem em ficar uma em seguida da outra, podemos primeiro analisa-las como uma única pessoa. Logo, o cálculo é:

4 ! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24   m a n e i r a s

Porém, essas pessoas também podem estar em ordens diferentes:

3 ! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6   m a n e i r a s

Por fim, pela regra 2.2 do livro, essas duas operações são relacionadas como:

n 1 ∙ n 2 = 24 ∙ 6 = 144   m a n e i r a s

Passo 4

Vamos analisar quantas formas essas duas pessoas estariam seguidas uma das outra, depois podemos subtrair essas maneiras da letra a) para encontrar quantas possibilidades há de cumprirmos a exigência:

Considerando as duas pessoas como uma, temos 5 maneiras de distribuir todas as pessoas no ônibus.

5 ! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120   m a n e i r a s

Sabendo que essas duas pessoas podem estar em ordens diferentes entre elas:

2 ! = 2 ∙ 1 = 2   m a n e i r a s

Relacionando essas operações:

n 1 ∙ n 2 = 120 ∙ 2 = 240   m a n e i r a s

Por fim, basta subtrairmos 720 de 240 para encontrarmos todas as possibilidades de distribuir as pessoas no ônibus, onde duas não estarão seguidas uma da outra.

720 - 240 = 480   m a n e i r a s

Resposta

a) 720   m a n e i r a s

b) 144   m a n e i r a s

c) 480   m a n e i r a s

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