Enunciado

Realizam-se jogadas independentes de uma moeda que dá cara com probabilidade p. Supondo que H e T representem os eventos "cara" e "coroa”, qual é a probabilidade de que os primeiros quatro resultados sejam

(a) H, H, H, H?

(b) T, H, H, H?

(c) Qual é a probabilidade de que o padrão T, H, H, H ocorra antes do padrão H, H, H, H?

Dica para a letra (c):Como pode o padrão H, H, H, H ocorrer primeiro?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos identificar o evento, portanto

E v e n t o   H i - A   m o e d a   c a i   e m   c a r a   n o   i - é s i m o   l a n ç a m e n t o ,     i ∈ N

A probabilidade nesse caso é igual a p, isso já foi dado no enunciado, e vamos considerar também que os eventos e probabilidades são independentes, o que facilita bastante nossos cálculos. Dado essa introdução, vamos resolver as questões, let’s go!!! 😊

Passo 2

A – Para o caso de H , H , H , H temos que usar o seguinte raciocínio: A probabilidade da interseção das probabilidades é igual ao produto das mesmas probabilidades, com isso, podemos escrever da seguinte forma:

P H H H H = P H ∙ P H ∙ P H ∙ P ( H )

Agora, é somente substituir o valor dessas probabilidades, com isso

P H H H H = p ∙ p ∙ p ∙ p = p 4

Passo 3

B – Para o caso de T , H , H , H temos que considerar o T como o complementar de H, já que os eventos são independentes, então a união deles é o espaço amostral, logo, temos que

P T H H H = P T ∙ P H ∙ P H ∙ P H

Como T é complementar, ele vai ser igual a 1 - p , com isso, já podemos fazer a substituição dos valores, logo

P T H H H = 1 - p ∙ p ∙ p ∙ p = 1 - p ∙ p 3

Passo 4

C – Para responder esta letra, vamos pensar da seguinte forma: Como a sequência HHHH aparece com probabilidade 0 < p 3 ≤ 1 , a probabilidade de que ela não apareça em três lances fixos é 0 ≤ 1 - p < 1 . Portanto, a probabilidade de HHH não aparecer em nenhum trio de lançamentos é lim n → ∞ ⁡ 1 - p 3 n = 0 . Portanto HHH aparece com probabilidade 1.

Vamos supor que a sequência HHHH apareceu primeiro. digamos que n é o lançamento numerado das primeiras caras na primeira aparição da sequência HHHH. Se H n - 1 então H n - 1 H n H n + 1 H n + 2 é uma sequência anterior de quatro caras consecutivas. Se T n - 1 então T n - 1 T n T n + 1 T n + 2 apareceu antes de qualquer sequência HHHH.

Portanto, HHHH primeiro só é possível se n-1 lançamento não existir, ou seja, HHHH ocorre. E se isso ocorrer HHHH é antes de THHH. Uma vez que HHHH estar antes de THHH é equivalente a HHHH, a probabilidade disso é p 4 .

Como com probabilidade 1 ocorre HHHH ou THHH, a probabilidade de que THHH ocorra primeiro é

1 - p 4

Resposta

a )   p 4

b )   1 - p p 3

c )   1 - p 4

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