Enunciado

Repita o Exemplo 1b quando as bolas são selecionadas com devolução.

Passo 1

Fala pessoal, vamos ter que relembrar qual que é o exemplo 1b pra fazer essa questão. Vou colocar ele aqui em baixo com o enunciado já modificado. Isso vai nos ajudar:

Três bolas são selecionadas aleatoriamente e COM devolução de uma urna contendo 20 bolas numeradas de 1 a 20. Se apostamos que pelo menos uma das bolas selecionadas tem um número maior ou igual a 17, qual é a probabilidade de vencermos a aposta?

Alternativamente ao exemplo em questão, temos: se X é o maior número selecionado, então X é uma variável aleatória que pode ter qualquer um dos valores X = 1,2 , 3 , … ,   20 . E as seleções podem ser 20.20.20 = 20 3

Passo 2

Agora, precisamos determinar a probabilidade de X = i ocorrer, com i = 1 ,   2 ,   3 , … , 20 .

A ideia aqui é que já sabemos o número de seleções, para quando não há reposição, então basta entendermos como se comportam os casos de reposição e adicioná-los. É fácil ver que com as reposições, agora é possível existirem retiradas do tipo: {18,18,15}; {20,20,20}; {2,2,1}

Ou seja, os casos com repetição, daí a expressão que corrige esse quantitativo, fica da seguinte forma

P X = i = i - 1 2 . ( i - 1 ) 20 3       i = 1 ,   2 ,   3 , … ,   20

Passo 3

Vamos, agora, determinar as probabilidades para X ≥ 17

P X ≥ 17 = P 17 + P 18 + P 19 + P 20

P X ≥ 17 = 16 2 ⋅ 16 20 3 + 17 2 ⋅ 17 20 3 + 18 2 ⋅ 18 20 3 + 19 2 ⋅ 19 20 3

P X ≥ 17 = 16.15.8 + 17.8 . 17 + 18.17.9 + 19.9 . 19 20 3 = 0,897

Resposta

P X ≤ 17 = 0,897

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