Enunciado

Se X representa o número de pessoas do Exercício 5.13 que acreditam que os antidepressivos não curam, mas somente escondem o problema verdadeiro, determine a média e a variância de X quando cinco pessoas são selecionadas aleatoriamente e, então, use o teorema

de Chebyshev para interpretar o intervalo μ ± 2 σ .

Passo 1

Fala galera, estão prontos para um exercício de probabilidade? Vem comigo!

Primeiro, nós vemos que o exercício 5.13 pode ser modelado como binomial.

Então podemos usar as fórmulas de média e variância da distribuição binomial aqui.

São elas:

μ = n p   e   σ 2 = n p q

No entanto precisamos definir quem são: n ,   p   e   q .

Vamos modelar o exercício como binomial, logo:

b x ; n ; p   o n d e   n = 5 ,   p = 0.7   e   q = 0.3

Por que modelar dessa forma?

n é o nosso espaço de trabalho, nesse caso são 5 pessoas.

p   e   q são dados do exercício 5.13.

Passo 2

Agora com tudo isso definido, vamos calcular a média e a variância, que é o que o exercício realmente pede.

μ = n p = 5 × 0.7 = 3.5

  σ 2 = n p q = 5 × 0.7 × 0.3 = 1.05

Extraindo a raiz da variância conseguimos encontrar o desvio padrão que é denotado por σ ;

Logo σ = 0.1025 .

Passo 3

Por último vamos interpretar o intervalo μ ± 2 σ

Numericamente:

3.5 ± 2 1.025 = 3.5 ± 2.050

Abrindo essa expressão, temos como valor mínimo 1.45 e valor máximo 5.55.

O teorema de Chebyshev nos fornece uma regra empírica na qual dado um k, número real, ele nos diz qual a proporção mínima de observações que estarão a até k desvios da média de acordo com Chebishev.

No caso para k=2, temos pelo menos 75% dos dados pertence ao intervalo.

Logo, podemos concluir que pelo menos 3/4 das vezes quando 5 pessoas são selecionadas aleatoriamente, de 2 a 5 são de opinião que os tranquilizantes não curam, mas apenas encobrem o problema real.

Resposta

i)   μ = 3.5

ii)   σ 2 = 1.05

iii) Podemos concluir que pelo menos 3/4 das vezes quando 5 pessoas são selecionadas aleatoriamente, de 2 a 5 são de opinião que os tranquilizantes não curam, mas apenas encobrem o problema real.

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