Enunciado

A resistência de vigas de madeira utilizadas na construção esta sendo estudada. O fornecedor atesta que, em média, cada viga resiste a 3 toneladas com desvio padrão de aproximadamente 2 toneladas. Vinte dessas vigas serão sorteadas para serem utilizadas numa obra. Considerando que é verdadeira a informação do fornecedor e supondo que o modelo Normal é adequado, pergunta-se:

  1. Qual a probabilidade de uma dessas vigas suportar menos do que 1 tonelada?
  2. Qual a probabilidade de as vinte vigas suportarem, em média, pelo menos 2,5 toneladas?
  3. Qual a probabilidade em (b), considerando agora 40 vigas e sem fazer a suposição de normalidade para os dados.

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Este exercício nos pede para calcular as probabilidades em cada caso. Certo?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá!

Sabendo que X é a variável aleatória que mede o peso em toneladas que a viga suporta.

Pelo enunciado temos que:

μ X = 3 t o n

σ X = 2 t o n

E para encontrar a probabilidade de X ser menor que 1 tonelada, faremos o processo de padronizar.

Para usarmos a normal, queremos que:

P X < 1 = P ( X - μ σ < 1 - μ σ )

P X < 1 = P Z < 1 - 3 2

= P ( Z < - 1 )

Lembrando dos paranauês da normal, isso é o mesmo que:

= P ( Z > 1 )

= 1 - ϕ ( 1 )

= 1 - 0,841

= 0,159

Passo 3

Na letra b), queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral da rigidez das 20 vigas seja superior a 2,5 toneladas, como aqui estamos avaliando média amostral, agora estamos olhando para a variável X - que denota a média amostral.

Sabemos que nossa média amostral vai possuir os seguintes parâmetros:

μ X - = μ X = 3 t o n

σ 2 X - = σ 2 X n = 2 2 20 = 0,2 t o n 2

E queremos aqui a probabilidade da média amostral ser superior a 2,5 toneladas.

P X > 2,5  

Para padronizar, faremos:

P X - - μ X - σ X - > 2,5 - μ X - σ X -

P Z > 2,5 - 3 0,2

P Z > - 1,118

Lembrando dos paranauês da normal, isso é o mesmo que:

P Z < 1,118

ϕ 1,118 = 0,869

Passo 4

Nessa letra c), aumentamos o número de amostras para 20 e não podemos mais supor que a população segue uma normal.

No entanto, como aqui estamos olhando para a média amostral, podemos lembrar que a média amostral segue o teorema do limite central e mesmo que a população não siga uma normal, se a amostra tiver pelo menos umas 30 amostras, podemos dizer que a média amostral segue a normal, portanto:

μ X - = μ X = 3 t o n

σ 2 X - = σ 2 X n = 2 2 40 = 0,1 t o n 2

E queremos aqui a probabilidade da média amostral ser superior a 2,5 toneladas.

P X > 2,5  

Para padronizar, faremos:

P X - - μ X - σ X - > 2,5 - μ X - σ X -

P Z > 2,5 - 3 0,1

P Z > - 1,581

Lembrando dos paranauês da normal, isso é o mesmo que:

P Z < 1 , 581

ϕ 1,581 = 0,943

Resposta

  1. 0,159=15,9%
  2. 0,869=86,9%
  3. 0,943=94,3%
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