Enunciado

Verifique se é razoável considerar um modelo de regressão linear relacionando as notas de inglês ( Y ) e Português ( X ) , segundo os dados apresentados na tabela a seguir. Sua conclusão deve ser baseada no coeficiente de correlação e no ajuste da reta de regressão.

Passo 1

Nessa questão, vamos ter que realizar uma regressão linear. Bom para começar vamos utilizar a tabela do enunciado para encontrar alguns valores triviais, como média e variância:

X - = ∑ i = 1 n x i n = 55,5 10 ≅ 5,55

E

S x 2 = ∑ i = 1 n x i 2 - n X - 2 n - 1 = 354,75 - 10 5,55 2 9 ≅ 5,19

Mesma ideia para o Inglês:

Y - ≅ 4,90         e       S y 2 = 5,50

Tá, perceba que de uma forma geral o que queremos é ver se podemos ou não relacionar as duas disciplinas em uma reta do tipo:

y ^ i = α ^ + β ^ x i

Onde α ^   e β ^ são estimadores para os coeficientes linear e angular respectivamente; e podem ser encontrados da seguinte maneira:

Vale lembrar que n = n x = n y = 10 ; note também que:

∑ i = 1 n x i y i = 5,5 7,0 + 3,5 4,5 + … + 5,0 6,5 ≅ 313,50

E

∑ i = 1 n x i 2 = 7,0 2 + … + 5,0 2 ≅ 354,75

Então temos a seguinte estimação para a reta:

y ^ i = - 0,04 + 0,89 x i

Agora, devemos testar de essa relação é mesmo linear, e isso acontecerá se β ≠ 0 ; então tudo que precisamos fazer é testar se isso é verdade ou não:

H 0 : β = 0       c o n t r a         H 1 : β ≠ 0

Passo 2

Para realizar o teste precisamos montar uma tabela de regressão linear, do tipo:

Basicamente, obtendo esses três valores de S Q , podemos montar a tabela e concluir o teste.

Vale lembrar, que p é o número de variáveis então no nosso caso, p = 2 ; e além disso, n representa o tamanho da nossa amostra, temos n = 10 .

Repare ainda que vamos precisar, utilizando a estimação que fizemos para a reta, obter todos os y ^ i ; em outras palavras:

y ^ 1 = - 0,04 + 0,89 7,0 ≅ 6,19

E assim por diante, até:

y ^ 10 = - 0,04 + 0,89 6,5 ≅ 5,75

Coloquei todos os valores na tabelinha abaixo, confere se bateu com o seu:

Tá comigo?? Let’s bora!

Agora podemos encontrar as somas de quadrados:

S Q r e g = 6,19 - 4,90 2 + … + 5,75 - 4,90 2 ≅ 37

S Q r e s = 5,5 - 6,19 2 + … + 5 - 5,75 2 ≅ 12,47

E por último:

S Q t o t a l = 37 + 12,47 = 49,50

Passo 3

Agora, olhando o modelo de tabela que mostrei antes, fica fácil achar os quadrados médios (QM); teremos a seguinte tabela de regressão linear:

Ainda falta realizar o teste, lembrando que devemos utilizar a seguinte aproximação:

F = Q M r e g Q M r e s ~ F p - 1 ; n - p

Chamamos essa distribuição de F   d e   S n e d e c o r com p - 1     e     n - p graus de liberdade.

Antes de finalmente realizarmos o teste, vamos deixar bem definida quem é nossa região crítica quando adotamos α = 5 % :

R C = f 0 ∈ R f 0 > f 0,05 ; 1 ; 8

Portanto, deveremos buscar na tabela um valor f tal que:

P F > f 0,05 ; 1 ; 8 = 0,05 = α

Para achar a resposta certa devemos procurar na tabela de 5%, na coluna de 2 - 1 = 1 grau de liberdade e na linha de 10 - 2 = 8 graus de liberdade:

Achou aí?? Nossa região crítica fica assim:

R C = f 0 > 5,32

Agora, graças a sua paciência, podemos realizar o teste:

f 0 = 37 1,56 ≅ 23,72

Percebeu que f 0 = 23,72 pertence a nossa região crítica?! Então sempre que isso acontecer vamos rejeitar a hipótese nula.

Mas peraí, quem era a nossa hipótese mesmo?? Foram tantas informações né... mas vamos lá:

Definimos H 0 : β = 0 , ao rejeitarmos essa hipótese, estamos afirmando que H 1 : β ≠ 0 é verdade.

Logo, como o β representa o coeficiente angular da reta, o fato de ele ser realmente diferente de zero nos diz que as duas disciplinas têm entre si uma relação de linearidade.

Resposta

O modelo linear (reta) é valido para mostrar a relação entre as disciplinas.

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