Enunciado

Seja X 1 , X 2 , … , X n uma amostra aleatória de uma fdp f ( x ) simétrica em relação a μ , de modo que X ˜ seja um estimador não-tendencioso de μ . Se n for grande, pode-se mostrar que V ( X ˜ ) = 1 / 4 n [ f ( μ ) ] 2 .

a. Compare V ( X ‾ ) a V ( X ‾ ) quando a distribuição subjacente for normal.

b. Quando a fdp subjacente for Cauchy (veja o Exemplo 6.6), V ( X ‾ ) = ∞ , então X ‾ será um terrível estimador. Qual é V ( X ˜ ) , neste caso, quando n for grande?

Passo 1

Compare V ( X ‾ ) a V ( X ‾ ) quando a distribuição subjacente for normal.

a. f x ; μ , σ 2 = 1 2 π σ e - ( x - μ ) 2 / 2 σ 2 , so f μ ; μ , σ 2 = 1 2 π σ and 1 4 n [ [ f ( μ ) ] 2 = 2 π σ 2 4 n = π 2 ⋅ σ 2 n ; uma vez que π 2 > 1 , V a r ⁡ ( X ~ ) > V a r ⁡ ( X ‾ ) .

Passo 2

Quando a fdp subjacente for Cauchy (veja o Exemplo 6.6), V ( X ‾ ) = ∞ , então X ‾ será um terrível estimador. Qual é V ( X ˜ ) , neste caso, quando n for grande?

b .   f ( μ ) = 1 π ,   e n t ã o   V a r ⁡ ( X ~ ) ≈ π 2 4 n = 2.467 n .

Resposta

a . V a r ⁡ ( X ~ ) > V a r ⁡ ( X ‾ ) .

b. 2.467 n .

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