Enunciado

Seja X a tensão de vibração1 (psi). Em uma palheta de turbina com certa velocidade de vento em um túnel aerodinâmico. O artigo “Blade Fatigue Life Assessment with Application to VAWTS” (J. Solar Energy Engr., 1982, p. 107 –111) propõe a distribuição de Rayleigh, com fdp

f x ; θ = x θ 2 e - x 2 2 θ 2 ,     x > 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

como modelo da distribuição de X.

a. Verifique se f ( x ; θ ) é uma fdp legítima.

b. Suponha que θ = 100 (valor sugerido: em um gráfico do artigo). Qual é a probabilidade de X   ser no máximo 200? Menos que 200? Pelo menos 200?

c. Qual é a probabilidade de X estar entre 100 e 200 (novamente assumindo θ = 100)?

d. Forneça uma expressão para P ( X   ≤   x ) .

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos devorar mais um exercício!

Passo 2

Vamos ao item a).

Para resolver esse item vamos montar a nossa integral e resolvê-la.

Montando a integral, chegamos em:

∫ - ∞ ∞ f ( x ; θ ) d x = ∫ 0 ∞ x θ 2 e - x 2 2 θ 2 d x

Resolvendo-a:

∫ - ∞ ∞ f ( x ; θ ) d x = - e - x 2 2 θ 2 ∞ 0 = 0 - - 1 = 1

Passo 3

Agora, partindo ao item b), temos 3 eventos a serem estudados nesse caso, vamos com calma

Primeiro queremos P ( X ≤ 200 ) , vamos então montar a nossa integral e resolvê-la:

P X ≤ 200 = ∫ 0 200 x θ 2 e - x 2 2 θ 2 d x = - e - x 2 2 θ 2 200 0 = - 0.1353 + 1 = 0.8647

Agora, iremos calcular P ( X < 200 ) , vamos montar nossa integral de novo e resolvê-la:

P X < 200 = P X ≤ 200 = ∫ 0 200 x θ 2 e - x 2 2 θ 2 d x = - e - x 2 2 θ 2 200 0 = 0.8647   ( x   é   c o n t í n u a )

E por fim, nesse item vamos calcular P ( X ≥ 200 )

Usando complementar:

P X ≥ 200 = 1 - P X < 200 = 0.1353

Passo 4

Fazendo o item c)

Nesse item estamos em busca de P ( 100 ≤ X ≤ 200 )

Montando nossa integral, temos:

P ( 100 ≤ X ≤ 200 ) = ∫ 10 0 200 x 100 2 e - x 2 2 ( 100 ) 2 d x = - e - x 2 2 0000 200 10 0 = 0.4712

Passo 5

Por fim, indo ao item d)

Agora vamos buscar uma relação para P ( X ≤ x )

Montando nossa integral e resolvendo-a:

P X ≤ x = ∫ - ∞ x f y ; θ d y = ∫ 0 x y e 2 e - y 2 2 θ 2 d x = - e - y 2 2 θ 2 x 0 = 1 - e - x 2 2 θ 2

Resposta

a) vide explicação.

b) P X ≤ 200 = 0.8647 ,   P X < 200 = 0.8647   e   P X ≥ 200 = 0.1353  

c) P ( 100 ≤ X ≤ 200 ) = 0.4712

d) P X ≤ x = 1 - e - x 2 2 θ 2

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