Enunciado

Seja X uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ. Mostre que P X = i cresce monotonicamente e então decresce monotonicamente à medida que i cresce, atingindo o seu máximo quando i é o maior inteiro não excedendo λ. Dica: Considere P X = i / P X = i - 1 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes da gente começar resolver, precisamos relembrar aqui duas equações importantes:

P X = i = e - λ λ i i !

P X = i - 1 = e - λ λ i - 1 ( i - 1 ) !

Vamos agora usar a dica do enunciado:

P X = i P X = i - 1 = e - λ λ i i ! e - λ λ i - 1 ( i - 1 ) !

Vamos dar uma arrumada:

e - λ λ i i ! e - λ λ i - 1 ( i - 1 ) ! = e - λ λ i i ! × ( i - 1 ) ! e - λ λ i - 1 = λ i i ! × ( i - 1 ) ! λ i - 1

Algo que vamos precisar lembrar aqui é que i ! = i i - 1 ! , logo:

λ i λ i - 1 × ( i - 1 ) ! i ! = λ i - i + 1 × ( i - 1 ) ! i i - 1 !

λ i - i + 1 × ( i - 1 ) ! i i - 1 ! = λ 1 × 1 i = λ i

Resposta

λ i

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que, quando n→∞ e p→0 , mas de tal sorte que n p→λ , temos n k p k . q n - k → e - λ . λ k k ! . Sugerimos que você use o fato: 1 - λ n n → e - λ quando n → ∞ .
Toda manhã, antes de iniciar a produção, o setor de manutenção de uma indústria faz a verificação de todo o equipamento. A experiência indica que em 95% dos dias tudo está bem e a produção se inicia.
Quando um fabricante de disco para computador testa um disco, ele escreve nele e então testa-o usando um certificado. O certificador conta o número de pulsos perdidos ou erros. O número de erros na ár
O número de insucessos de um instrumento de teste para partículas de contaminação no produto é uma variável aleatória de Poisson, com uma média de 0.02 insucesso por hora.Qual é a probabilidade de que
Suponha que o número de consumidores que entrem em um banco em uma hora seja uma variável aleatória de Poisson. Suponha também que P ( X = 0 ) = 0.05 . Determine a média e a variância de X.