Enunciado

Toda manhã, antes de iniciar a produção, o setor de manutenção de uma indústria faz a verificação de todo o equipamento. A experiência indica que em 95% dos dias tudo está bem e a produção se inicia. Caso haja algum problema, uma revisão completa será feita e a indústria só começará a trabalhar após o almoço. Faça alguma suposição adicional que julgar necessária e responda:

  1. Qual é a probabilidade de demorar 10 dias para a primeira revisão completa?
  2. E de demorar pelo menos 15 dias?
  3. Um esquema de manutenção, com revisão preventiva, está sendo montado de modo a evitar a revisão completa num dia aleatório. Determine um dia d, tal que probabilidade de quebra além de d seja pelo menos igual a 0,6. Revisando com intervalos de d dias, o que estaremos garantindo?

Passo 1

E lá vamos nós!

Vamos lá! No nosso problema temos uma indústria que passa por verificações todas as manhãs e, caso encontrem algum problema, uma revisão completa será feita e a indústria só começa suas atividades após o almoço.

Na alternativa (a), queremos saber a probabilidade de demorar 10 dias para uma revisão completa, ou seja, 10 dias para haver algum problema na verificação. Vamos usar o modelo de distribuição geométrica que é dado por:

P X = x = 1 - p x p

No 10º dia teremos uma falha, certo? Então vamos considerar nossa V.A. sendo o número de sucessos até ocorrer uma falha, daí:

P X = 10 = 0,95 10 0,05 = 0,03

Ou seja, a probabilidade de haver uma falha no décimo dia será de 3%.

Passo 2

Beleza, descobrimos a probabilidade da falha ocorrer no décimo dia, mas e se acontecer essa falha em, pelo menos, 15 dias como dito em (b)?! Veja, que é em pelo menos 15, pode ser 16, 17, 18 ou mais dias.

Teremos

P X ≥ 15 = 1 - P ( X < 15 )

Ou seja, a probabilidade de ocorrer falhas nos outros dias, são desconsideradas, então, vamos pegar a probabilidade total e subtrair as probabilidades de falhas nos outros dias:

P X ≥ 15 = 1 - [ P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7 + P X = 8 + P X = 9 + P X = 10 + P X = 11 + P X = 1 2 + P X = 1 3 + P X = 14 ]

Ou seja,

P X ≥ 15 = 1 - [ 0,95 1 0,05 + 0,95 2 0,05 + 0,95 3 0,05 + 0,95 4 0,05 + … + 0,95 5 0,05

Daí, calculando a probabilidade para cada dia:

P X ≥ 15 = 1 - 0,0475 + 0,0450 + 0,0428 + 0,0407 + 0,0386 + 0,0367 + 0,0349 + 0,0331 + 0,0315 + 0,03 + 0,0284 + 0,0270 + 0,0256 + 0,0243

P X ≥ 15 = 1 - 0,4861 = 0,5139

Passo 3

A indústria quer montar um sistema de manutenção para evitar a revisão completa em um dia aleatório. Queremos encontrar um dia d em que a probabilidade de quebra seja de pelo menos 0,6.

Ao calcular a probabilidade da revisão completa ser feita em pelo menos 15 dias, encontramos somando as probabilidades anteriores que em 11 dias teremos uma probabilidade de revisão de completa aproximadamente 0,6.

Ou seja,

P X < 11 ≅ 0,6

Daí, uma revisão de no mínimo de 11 em 11 dias, ajudaria a fazer um controle de revisão completa em um dia mais propício a uma falha na indústria.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza os resultados de convergência usados para obter uma distribuição de Poisson como limite de uma distribuição binomial.
Uma grande padaria pode produzir pães em lote de 100, 1000,2 1000 ou 3000 por dia. O custo de produção por item e US$0.10. A demanda varia aleatoriamente de acordo com esse com a seguinte distribuição
Uma companhia realizar inspeção em carregamento de fornecedores, de modo a determinar produtos não conformes. A política da companhia é usar o tamanho de amostra que seja sempre 10% do tamanho do lote
Deduza a fórmula para a média e o desvio padrão de uma variável aleatória uniforme discreta sobre a faixa de inteiros a, a +1,…, b.
Falhas na superfície de um painel exterior de um automóvel seguem a distribuição de Poisson, com uma média de 0,1 falha por painel. Se 100 painéis forem verificados, qual será a probabilidade de que m