Enunciado

Sejam XX......X.uniformemente distribuidos no intervalo 0 a a.Lembre-se de que o estimador de maxima verossimilhanca de a e a-máx(X).

  1. Por que,intuitivamente,a nao pode ser um estimador nao-tendencioso para a?
  2. Suponha que E(a)=na/(n+1).E razoavel que a consistentemente subestime a?Mostre que a tendenciosidade no estimador se aproxima de zero quando n aumenta.
  3. Proponha um estimador nao-tendencioso para a.
  4. SejaY=max(X).Use o fato de que Yyse e somente se cada Xy. para deduzir a funcao de distribuicao cumulativa de Y.Mostre entio que a funcao densidade de probabilidade de Ye caso contrario. Use esse resultado para mostrar que o estimador de maxima verossimilhanca para a e tendencioso.
  5. Temos dois estimadores nao-tendenciosos para a:o estimador de momento a=2X c a,=(n+1)n|max(X).em que max(Xj)e a maior observacao em uma amostra alcatoria de tamanho n.Pode ser mostrado que Viaj=a((3n)e quc V(a)-a/n(n+2)|.Mostre que se

.a,e um estimador melhor do que a.Em que sentido ele e um estimador melhor de a?

Passo 1

Letra a:

Intuitivamente, a ^ será sempre menor do que a (uniformemente distribuído em [0, a]), é por isso que não deve ser um estimador imparcial.

Passo 2

Letra b:

Nós temos que

E ( a ^ ) = n a n + 1

portanto, pela definição de parcialidade,

E ( a ^ ) - a = n a n + 1 - a ( n + 1 ) n + 1 = n a - a n - a n + 1 = - a n + 1 n n → ∞ 0

o que significa que se aproxima de zero.

Passo 3

Letra c:

A expectativa de uma variável aleatória distribuída uniformemente no intervalo [0, a] é a / 2 , portanto, um estimador imparcial será 2 X ^ , porque

E ( 2 X ) = 2 E 1 n ∑ i = 1 n   X i = 2 n ∑ i = 1 n   E X i = = 2 n ⋅ n a 2 = a

Passo 4

Letra d:

De Y = m a x ( X i ) , precisamos encontrar a função de distribuição cumulativa de Y. Seja y ∈ [ 0 , a ] , então

P ( Y ≤ y ) = P m a x X i ≤ y = 1 P X 1 ≤ y , X 2 ≤ y , … , X n ≤ y = 2 = 2 P X 1 ≤ y ⋅ P X 2 ≤ y ⋅ … P X n ≤ y = P X 1 ≤ y n = = y a n

( 1 ) : se máximo for menor ou igual a y, cada um deles é menor ou igual;

( 2 ) : aqui usamos que eles são independentes (mesmo que não seja mencionado na tarefa, as variáveis ​​aleatórias são provavelmente independentes).

Nós também usamos que

P X 1 ≤ y = ∫ 0 y   f X 1 ( x ) d x = y a

Para y ∈ ( - ∞ , 0 ) , a função de distribuição cumulativa é obviamente 0, e para y ∈ ( a ,   ∞ ) é igual a 1.

É fácil encontrar a derivada da função ( y / a ) n para obter a função de densidade de probabilidade como

f Y ( y ) = n a n y n - 1         , y ∈ [ 0 , a ] 0         ,   c a s o   c o n t r á r i o  

Olhando para a parcialidade,

E ( Y ) - a

conforme calculamos anteriormente

a n n + 1 - a = - a n + 1

onde a expectativa de Y é

E ( Y ) = ∫ 0 a   n a n y n d y = n a n ⋅ a n + 1 n + 1 = a n n + 1

é a parte onde usamos a função de densidade de probabilidade.

Passo 5

Letra e:

a ^ 2 é um melhor estimador do que estimador a ^ 1 no sentido de que sua variância é menor. Isso é porque:

V a ^ 1 = a 2 3 n > a 2 n ( n + 2 ) = V a ^ 2

como   n ( n + 2 ) = n 2 + 2 n > n + 2 n = 3 n  para qualquer  n > 1

Resposta

  1. Ver resolução
  2. E a ^ - a ⟶ n → ∞ 0
  3. 2 X -
  4. Ver resolução
  5. V a ^ 1 > V a ^ 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A seção de assistência técnica da Companhia MB tem cinco funcionários: A ,B ,C ,D e E , cujos tempos de serviço na companhia são, respectivamente, um, três, cinco, cinco e sete anos.(j) O que você pod
A seção de assistência técnica da Companhia MB tem cinco funcionários: A ,B ,C ,D e E , cujos tempos de serviço na companhia são, respectivamente, um, três, cinco, cinco e sete anos.(o) A variável tri
Refaça o problema anterior, admitindo agora que um mesmo funcionário não pode atender a duas firmas.
Refaça o problema anterior, admitindo agora que um mesmo funcionário não pode atender a duas firmas.
Refaça o problema anterior, admitindo agora que um mesmo funcionário não pode atender a duas firmas.