Enunciado

Suponha um experimento consistindo de n provas de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p. Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores:

Determine a esperança e a variância de cada estimador. Por que p2 não é um “bom” estimador?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para calcularmos a esperança e a variância de cada um dos estimadores dados. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser achar a distribuição para o nosso estimador.

X   ~   B i n o m i a l n ; p

E X = n p

V a r X = n p 1 - p X 1   ~   B i n o m i a l p

E X 1 = p

V a r X 1 = p 1 - p

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular para p1 e p2!!

E p 1 = E X n = p

V a r p 1 = V a r X n = p 1 - p n

E p 2 = E X 1 = p

V a r p 2 = V a r X 1 = p 1 - p

Passo 4

O p2 não se apresenta como bom estimador, pois apresenta uma variância muita alta em comparação com o p1, considerando isso o p1 é mais preciso em relação a estimativa do que p1.

Resposta

E p 1 = E X n = p

V a r p 1 = V a r X n = p 1 - p n

E p 2 = E X 1 = p

V a r p 2 = V a r X 1 = p 1 - p

O p2 não se apresenta como bom estimador, pois apresenta uma variância muita alta em comparação com o p1, considerando isso o p1 é mais preciso em relação a estimativa do que p1.

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