Enunciado

Suponha que de N objetos, n sejam escolhidos ao acaso, com reposição. Qual será a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais do que uma vez? (Admita n < N ).

Passo 1

Para resolver problemas assim eu acho que a melhor forma é primeiro fazer um caso mais simples com N = 10 e n = 3 .

Repare que o primeiro objeto que a gente sorteia não importa muito. Assim, a probabilidade referente ao primeiro objeto sorteado é

P 1 = 10 10 = 1

Ai nós colocamos o objeto de volta na caixa. Daí, para o segundo objeto temos que achar a probabilidade de retirar um novo objeto que seja diferente do primeiro. Com isso, temos 10 - 1 = 9 possibilidades entre os 10 objetos disponíveis:

P 2 = 9 10

Daí, devolvemos o objeto e partimos para o terceiro e último sorteio. Agora temos 10 - 2 = 8 opções entre os 10 objetos disponíveis:

P 3 = 8 10

Daí, basta multiplicar as probabilidades:

P = 1 ⋅ 9 10 ⋅ 8 10

Passo 2

Agora vamos olhar para o caso geral com um N e n qualquer. Vamos realizar ao todo n sorteios. No primeiro, tanto faz o objeto que tiramos:

P 1 = N N = 1

Para o segundo sorteio, temos N objetos dentro da caixa, mas só N - 1 objetos interessam pois não podemos sortear o objeto do primeiro sorteio novamente:

P 2 = N - 1 N

Para o terceiro sorteio, teremos

P 3 = N - 2 N

Já para o quarto:

P 4 = N - 3 N

Acho que é fácil perceber que para o n -ésimo sorteio temos

P n = N - n - 1 N = N - n + 1 N

Multiplicando todas as probabilidades temos que

P = 1 ⋅ N - 1 N N - 2 N N - 3 N … N - n - 1 N

Ou ainda,

P = N - 1 N - 2 N - 3 … ( N - n - 1 ) N n - 1

Resposta

P = N - 1 N - 2 N - 3 … ( N - n - 1 ) N n - 1

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