Enunciado

Suponha que um ponto é escolhido ao acaso em um palito de comprimento unitário e que o palito é quebrado em dois pedaços neste ponto. Determine o valor esperado do comprimento do maior pedaço.

Passo 1

Salve salve família RA, tudo na paz? Vamos resolver mais um exercício do Dantas para não perder a prática...

Modelando este nosso problema, podemos desenhar a situação citada na questão dada:

Neste desenho, podemos chamar o tamanho do pedaço quebrado por X , e devemos assumir que, por ser unitário, o tamanho deste palito é 1 . Além disso, podemos determinar uma função de distribuição para o tamanho do maior pedaço (denotada neste caso por Y ):

Y = 1 - X ,     X < 1 2 X ,     X ≥ 1 2

Observação: Utilizamos 1 2 para determinar os limites da nossa função visto que para ser considerado o maior pedaço, devemos ter um valor maior ou igual a metade do palito.

Passo 2

Continuando nossa jornada por aqui, agora que definimos nossa função de distribuição, podemos calcular a esperança matemática para o maior comprimento, ou E ( Y ) , que é:

E Y = ∫ - ∞ ∞ y f y d y =   ∫ 0 1 2 1 - x d x + ∫ 1 2 1 x d x = 1 2 - 1 2 2 2 + 1 2 2 -   1 2 2 2 = 3 4

Então a esperança matemática para o comprimento do maior pedaço é 3 4 ou 0,75 .

Por enquanto é isso pessoal, espero que tenham entendido :) Valeuu!! Até a próxima!

Resposta

E Y = 0,75

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