Enunciado

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Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados.

Passo 1

Bom, o enunciado quer que a gente olhe de duas formas, certo? Então, vamos começar pela Binomial!

- Binomial

Considerando X como o número de itens defentuosos encontrados na amostra, os parâmetros serão:

X ~ b ( 10 ; 0,2 )

Lembram, né? Representamos a binomial como:

X ~ b ( r e p e t i ç õ e s ; p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o )

E sabemos também que a fórmula geral da f.p. da distribuição binomial é dada por:

P X = k = n k   p k q n - k ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n

Já a distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 é dada por:

P X = k = e - λ λ k k ! ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Onde,

k = número de ocorrências

e   = base dos logaritmos naturais, isto é e = 2,7182... (constante)

λ = média de ocorrências num certo intervalo

Guardem essa relação no coração, ela será muito útil nessa questão e em possíveis questões de prova.

E X = n p = λ

Passo 2

Portanto se queremos a probabilidade de que não mais do que um item defeituoso seja encontrado, queremos X ≤ 1 .

P X ≤ 1 = 10 0 × 0,2 0 × 0,8 10 + 10 1 × 0,2 1 × 0,8 9 = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Passo 3

Agora vamos olhar a distribuição de Poisson

- Poisson

É um pouco diferente, eu sei, olhar para esse caso como Poisson. Mas vamos tentar, ok?

A nossa variável aleatória continua sendo X = número de itens defeituosos encontrados na amostra.

Na distribuição de Poisson é sempre importante identificar o parâmetro, no caso o λ . Como o λ é geralmente a média, observando o enunciado, como temos dez itens e a probabilidade de ser defeituoso é 0,2 podemos dizer que a média de itens defeituosos é E X = n p = λ = 2 , certo? Portanto se queremos a probabilidade de no máximo dois defeituosos, logo

P X ≤ 1 = P X = 0 + P X = 1 = e - 2 2 0 0 ! + e - 2 2 1 1 ! = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060

Passo 4

Notem que os resultados obtidos, apesar de diferentes, são razoavelmente próximos.

Resposta

Binomial: P X ≤ 1 = 0,3758

Poisson: P X ≤ 1 = 0,4060

Resultados razoavelmente próximos.

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