Enunciado

a) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória. Qual a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio?

b) O mesmo que em (a), com os dígitos 1, 2, 3 e 4.

c) O mesmo que em (a), com os dígitos 1, 2, 3, ..., n .

Passo 1

Esse é aquele tipo de problema que é melhor trabalhar com o caso complementar...

Para achar a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio, vamos calcular primeiro a probabilidade de nenhum dígito ocupar seu lugar próprio.

No primeiro dígito temos duas opções, pode ser 2 ou 3. Todavia, não sabemos quantas opções temos para os demais dígitos pois não sabemos qual foi escolhido no primeiro...

Vamos trabalhar com dois casos:

Com isso, temos duas sequências possíveis em que nenhum digito ocupa seu lugar próprio:

231     o u     312

O total de permutações é

3 ! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

Logo, a probabilidade de nenhum digito ocupar seu lugar próprio é

2 6 = 1 3

Assim, a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio será

P = 1 - 1 3 → P = 2 3

Passo 2

No item (b) temos que fazer o mesmo, porém agora temos 4 dígitos. Os casos em que nenhum número ocupa seu dígito próprio são representados a seguir:

Vemos que existem 9 combinações desse tipo. O total de combinações é 4 ! = 24 . Desta forma, a probabilidade de nenhum número ocupar seu lugar próprio é

9 24 = 3 8

Com isso, a probabilidade de ao menos um digito ocupar seu lugar próprio é

P = 1 - 3 8 → P = 5 8

Passo 3

Para terminar o problema, vamos considerar o caso geral com n dígitos. O total de combinações é n ! , de modo que a probabilidade de ao menos um dígito ocupar seu lugar próprio é

P = 1 - c a s o s   s e m   n e n h u m   d i g i t o   n o   l u g a r   p r o p r i o n !

A grande dificuldade é achar o total de casos sem nenhum dígito ocupar seu lugar próprio. No caso do item (a), tínhamos

c a s o s   s e m   n e n h u m   d i g i t o = C 3,2 - 1

A ideia é assim: das três opções de números, temos que escolher dois e assim fixar um dígito. Daí restam dois dígitos: escolhendo um se escolhe automaticamente o outro. Precisamos subtrair 1 pois um dos casos terá um dígito no lugar próprio.

Para o caso do item (b), começamos com C 4,2 , depois subtraímos C 4,3 e somamos 1:

c a s o s   s e m   n e n h u m   d i g i t o = C 4,2 - C 4,3 + 1

A ideia é sempre ir alternando o sinal começando com C n , 2 até chegar no C n , n = 1 :

c a s o s   s e m   n e n h u m   d i g i t o = C n , 2 - C n , 3 + … - - 1 n - 1

Portanto,

P = 1 - C n , 2 n ! + C n , 3 n ! - … + - 1 n - 1 n !

Aconselho você abrir os resultados para n = 5 e n = 6 para conferir certinho todos os casos e ver que a fórmula funciona!

Resposta

P = 2 3

P = 5 8

P = 1 - C n , 2 n ! + C n , 3 n ! - … + - 1 n - 1 n !

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