Enunciado

Um caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. As válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso, ensaiando-a e repetindo-se o procedimento até que todas as 4 válvulas defeituosas sejam encontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada:

a) No quinto ensaio?

b) No décimo ensaio?

Passo 1

Temos uma caixa que contém 4 peças defeituosas e 6 perfeitas, de modo que ao todo temos 10 peças.

Vamos calcular primeiro todas as formas de ordenar as 10 peças. Para isso, basta fazer uma permutação de 10 termos com 4 e 6 repetições:

t o t a l = 10 ! 4 ! 6 ! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 210

Lembre-se que em permutações com repetição nós devemos colocar o número de repetições no denominador...

Passo 2

No item (a) queremos que a quarta peça defeituosa seja sorteada no quinto ensaio. Para que isso ocorra, nos 4 primeiros ensaios devemos ter tirado 3 peças defeituosas e 1 perfeita. As combinações possíveis nesses quatro primeiros ensaios são

P D D D

D P D D

D D P D

D D D P

Poderíamos ter feito essa conta pensando numa permutação com 4 termos e 3 repetições:

4 ! 3 ! = 4

Com isso, temos 4 possíveis formas de obter exatamente 3 peças defeituosas nos quatro primeiros ensaios. Além disso, como a última peça defeituosa deve sair no quinto ensaio e nos demais ensaios só teremos peças perfeitas, o total de formas em que tudo isso ocorrer será exatamente 4:

_ _ _ _ (D) P P P P P

São as 4 possíveis permutações nos quatro primeiros ensaios que determinam o total de casos. Assim, a probabilidade será

P a = 4 210 → P a = 2 105

Passo 3

No item (b) nós queremos que a última peça defeituosa seja escolhida no último sorteio, de modo que nos 9 primeiros ensaios nós devemos ter exatamente 6 peças perfeitas e 3 defeituosas. Para calcular a quantidade de ordens em que isso pode ocorrer basta fazer uma permutação com 9 termos, com 6 e 3 repetições:

9 ! 6 ! 3 ! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 3 ⋅ 2 = 84

Assim, a probabilidade será

P b = 84 210 → P b = 2 5

Resposta

P a = 2 105

P b = 2 5

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