Enunciado

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Suponha-se que um objeto seja mensurado independentemente com dois diferentes dispositivos de mensuração. Sejam L1 e L2 os comprimentos medidos pelo primeiro e segundo dispositivos, respectivamente. Se ambos os dispositivos estiverem calibrados corretamente, poderemos admitir que E L 1 = E L 2 = L , o comprimento verdadeiro. No entanto, a precisão dos dispositivos não é necessariamente a mesma. Se avaliarmos a precisão em termos da variância, então V L 1 ≠ V L 2 . Se empregarmos a combinação linear Z = a L 1 + 1 - a L 2 para nossa estimativa de L, teremos imediatamente que E Z = L , isto é, Z será uma estimativa não-tendenciosa de L. Para qual valor escolhido de a, 0 < a < 1 , a variância de L será um mínimo?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos o nosso valor esperado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

Z = a L 1 + 1 - a L 2

0 < a < 1

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

P K ≤ k = 1 - P K > k

P X > k = F k

Com isso, podemos começar a pensar.

V Z = V a L 1 + 1 - a L 2

V Z = a 2 V L 1 + 1 - a 2 V L 2

V ' Z = 2 a V L 1 - 2 1 - a V L 2

V ' ' Z = 2 V L 1 + 2 V L 2 > 0  

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

min ⁡ V Z = V ' Z = 0

a = V L 2 V L 1 + V L 2

Resposta

a = V L 2 V L 1 + V L 2

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