Lista de Exercícios Resolvidos de Erro Absoluto de Estimação

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Foi realizada uma pesquisa de opinião em uma grande empresa visando, entre outras coisas, determinar o nível médio de satisfação dos empregados com as condições de trabalho a eles oferecidas (instalações, equipamentos, etc).

O índice de satisfação de cada empregado pode ser medido em uma escala de zero a cem pontos, e sua variabilidade é tal que o desvio padrão populacional é da ordem de 30 pontos. Se nessa pesquisa foram sorteados 324 empregados ao acaso para uma entrevista, qual a probabilidade de que o índice de satisfação médio seja estimado com erro absoluto menor que três pontos?

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De uma população normal com σ   =   3 , retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho 10 0 . Se quisermos garantir que uma análise do valor da média de alguma característica dessa população tenha o erro absoluto de estimação menor uma certa margem de erro com 90 % de confiança, qual deve ser a margem de erro adotada?

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Suponha que temos uma amostra de 40 estudantes e queremos estimar quantos dentre eles estão no último semestre da faculdade. Qual a probabilidade de que o erro absoluto da nossa estimativa seja menor que 0,02 ?

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Definimos a variável E = X -   μ como sendo o erro amostral da média, onde X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com distribuição Normal de média μ e desvio padrão σ = 20 .

  1. Que proporção das amostras de tamanho 100 terá o valor absoluto do erro amostral maior do que 2 unidades?
  2. Neste caso, qual deve ser o valor de δ para que P E > δ = 0,01 ?

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Uma empresa fabrica diodos usados em placas de circuito impresso. Digamos que tenha sido coletada uma amostra aleatória da linha de produção, com n = 50 diodos, e que exatamente um número certo deles esteja fora das especificações. Deseja-se agora determinar a probabilidade de que o erro absoluto da estimativa da proporção fora das especificações não ultrapasse 0,05.

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Definimos a variável E = X -   μ como sendo o erro amostral da média, onde X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com distribuição Normal de média μ e desvio padrão σ = 20 .

  1. Que proporção das amostras de tamanho 100 terá o valor absoluto do erro amostral maior do que 2 unidades?
  2. Neste caso, qual deve ser o valor de δ para que P E > δ = 0,01 ?

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Deseja-se estimar simultaneamente:

i) A média   μ , em   m g / l , da concentração da substância   S em determinado produto químico; e

ii) A proporção p de unidades desse produto nas quais a concentração de S   é superior a 5,5   m g / l .

Para isso foi coletada uma amostra piloto composta por 10 unidades amostrais desse produto, para as quais a concentração da substância S , em m g / l , foi medida. Eis os resultados:

12,03   7,75   6,97   7,06   5,86   7,99   4,30   6,12   4,43   5,73

Para simplificar os cálculos, informam-se ∑ x i = 68,24   ;   ∑ x i 2 = 509,79 m g l 2

Pergunta-se:

(a) Quais são as estimativas da média μ   e do desvio padrão σ da concentração de   S , bem como da proporção p , com base na amostra piloto?

(b) Qual o tamanho mínimo de uma nova amostra com base na qual se possa estimar a proporção   p de forma que o erro absoluto seja inferior a 0,08 com 95 % de probabilidade?

(c) Se for utilizada essa mesma amostra dimensionada no item (b), qual a probabilidade de que na estimação de μ seja cometido um erro máximo de 0,3   m g / l ?

Admita que o tamanho da amostra calculado no item (b) é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

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Marque verdadeiro ou falso para cada uma das afirmações abaixo, justiçando sua resposta.

Considere que se deseja estimar uma proporção populacional p desconhecida com uma precisão especificada. Neste contexto, denote por n 1 o menor tamanho de amostra necessário para garantir tal precisão quando não se tem nenhuma informação sobre p e denote por n 2 o menor tamanho de amostra necessário caso tenhamos alguma informação sobre p (ou seja, se sorubermos que p pertence a algum intervalo a , b ⊂ ( 0,1 ) ) . Podemos afirmar que n 1 sempre será máximo 4 vezes superior a n 2 , ou seja, que n 1 ≤ 4 n 2 .

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