Enunciado

Tamanho de uma amostra.

Passo 1

Na prática, não conhecemos a distribuição de v.a. X e retiramos uma amostra a fim de estimar algum parâmetro dessa distribuição. Suponha, agora, que nosso interesse esteja na média mu = E ( X ). Para estimá-la, colhemos uma amostra X_1 , X_2 , . . . , X_n de X . Logo, as v.a. X_i são independentes, cada uma delas tem a mesma distribuição que X e E ( X_i ) = mu , AA i = 1 , . . . , n . Para estimar mu consideramos a média amostral overset(-)(X) .

Um problema que se apresenta é determinar o tamanho da amostra a colher. Isso pode ser feito usando a TLC, como vimos na seção 10.11 .

Agora, vamos ver um procedimento diferente, também baseado no TLC, mas que envolve uma regra de parada para determinar o número de dados a colher. Esse procedimento foi sugerido por Ross ( 1997 ). Pelo TLC podemos escrever:

P ( |overset(-)(X) - mu| > c sigma sqrt(n) tildetilde P (|Z| > c) = 2 [1 - Phi (c)] , ( 10.9 )

Para qualquer constante c > 0 , onde Z tilde N ( 0 , 1 ) e Phi ( * ) denota a f.d.a. de Z . Por exemplo, se c = 1,96 , a probabilidade acima é 0,05 .

Passo 2

Suponha que, em vez de colher uma pequena amostra piloto para estimar sigma , tenhamos informação suficiente para escolher um valor aceitável, digamos d , para o desvio padrão de overset(-)(X) , que é dado por sigma // √ n .

Por ( 10.9 ) , podemos escrever, por exemplo,

P ( | overset(-)(X) – mu | <= 1,96 d ) tildetilde 0,95 .

Segue-se que podemos amostrar sequencialmente de X até que (S)/(sqrt(n)) < d , em que calculamos S com os valores até então escolhidos.

Passo 3

O seguinte algoritmo pode, então, ser adotado:

( 1 ) Escolha um valor aceitável d para sigma // √ n .

( 2 ) Gere pelo menos 30 dados (para obter uma estimativa razoável de sigma ).

( 3 ) Continue a gerar dados, parando quando, com n dados, S // √ n < d , com:

S^2 = (X_i – overset(-)(X))^2 // ( n – 1 ) .

(4) Estime mu por overset(-)(X) = sum X i // n .

Passo 4

Esse método implica podermos calcular overset(-)(X) e S^2 recursivamente. Isso pode ser feito por meio das seguintes fórmulas, facilmente verificáveis:

overset(-)(X)_j = (1)/(j) xx sum_(i = 1)^j X_i , S_j^2 = (1)/(j - 1) xx sum_(i = 1)^j (X_i - overset(-)(X)_j)^2 , j >= 2 ,

S_1^2 = 0 , overset(-)(X)_0 = 0 ,

overset(-)(X)_j + 1 = overset(-)(X)_j + (X_j + 1 - overset(-)(X)_j)/(j + 1) ,

S_(j + 1)^2 = (1 - (1)/(j)) xx S_j^2 + (j + 1) xx (overset(-)(X)_j + 1 - overset(-)(X)_j)^2 .

Suponha x_1 = 3 , x_2 = 5 , x_3 = 2 , x_4 = 6 , x_5 = 4 . Então, usando as fórmulas acima, obtenha, recursivamente , overset(-)(X)_i , S_i^2 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

Resposta

Sabemos que:

overset(-)(X)_j = (1)/(j) xx sum_(i = 1)^j X_i ; S_j^2 = (1)/(j - 1) xx sum_(i = 1)^j ( X_i - overset(-)(X) ) ² , j >= 2 .

Assim:

Para j = 1 , temos x_1 = 3 , overset(-)(X)_1 = 3 e S_1^2 = 0 ;

Para j = 2 , temos x_2 = 5 , overset(-)(X)_2 = 4 e S_2^2 = 2 ;

Para j = 3 , temos x_3 = 2 , overset(-)(X)_3 = 3,33 e S_3^2 = 2,33 ;

Para j = 4 , temos x_4 = 6 , overset(-)(X)_4 = 4 e S_4^2 = 3,33 ;

Para j = 5 , temos x_5 = 4 , overset(-)(X)_5 = 4 e S_5^2 = 2,5 .

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