Enunciado

O tempo de vida de um amplificador eletrônico é modelado como uma variável aleatória exponencial. Se 10% dos amplificadores tiverem uma média de 20.000 horas e os amplificadores restantes tiverem uma média de 50000 horas, que proporção dos amplificadores falhará antes de 60.000 horas?

Passo 1

Sejam X 1 e X 2 as variáveis aleatórias distribuídas exponencialmente com as seguintes médias:

E ( X 1 ) = 20000

e

E ( X 2 ) = 50000

Estas são variáveis ​​aleatórias contínuas com a função de distribuição de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f i ( x ) = λ i e - λ i x ,   x ≥ 0

F i ( x ) = 1 - e - λ i x ,   x ≥ 0

com os parâmetros λ 1 e λ 2 .

Passo 2

Vamos calcular os parâmetros da fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

λ 1 = 1 20000

λ 2 = 1 50000

Vamos calcular:

P ( X 1 < 60000 ) = F 1 ( 60000 ) = 1 - e - 60000 / 20000 = 0.95021 ≈ 0.95

P ( X 2 < 60000 ) = F 2 ( 60000 ) = 1 - e - 60000 / 50000 = 0.6988 ≈ 0.699

Já que 10% são do primeiro grupo, e o resto do segundo, a probabilidade geral de falha antes de 60000 horas é:

0.1 × 0.95 + 0.9 × 0.699 ≈ 0.72

Resposta

0.72

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