Enunciado

Se um terço das pessoas de uma cidade assiste regularmente a programas de televisão, e colocando 200 pesquisadores, cada um entrevistando 8 pessoas, estimar quantos desses pesquisadores informarão que até 3 das pessoas consultadas são telespectadores habituais.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?!

De acordo com o conceito de Distribuição Binominal:

Seja uma experiência aleatória que pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada prova: realização de um evento E (quando dizemos que houve sucesso), ou a não realização desse evento E (quando dizemos que houve insucesso). Suponhamos que essas n provas sejam independentes e que, em cada prova, as probabilidades de obter sucesso (p) e de obter insucesso (q) sejam constantes.. Portanto:

P ( E ) = p

P ( E _ ) = q = 1 - p

Consideramos agora o número de vezes (X) em que o evento E ocorre nas n provas independentes e então o número de vezes em que o evento E _   (não ocorre E) será ( n - X ) . Considerando X como variável aleatória, temos então definida a distribuição Binomial.

Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucesso é:

P ( x )   =   C n , x ⋅ p x   ⋅ ( 1 - p ) n - x  

onde,

  • X = até 3 telespectadores habituais, no caso, 3
  • p = probabilidade de sucesso, no caso, 1 terço da população são telespectadores habituais, então 1 3 = 0,33
  • n = 8

obs: Lembremos, da Análise Combinatória, que:

C n , x =   n ! x ! ( n - x ) !

temos que:

P ( x ≤ 3 ) =   P ( x = 0 ) + P ( x = 1 ) + P ( x = 2 ) + P ( x = 3 )

P ( x ≤ 3 ) = 8 ! 0 ! ( 8 - 0 ) ! ⋅   0,33 0   ⋅   ( 1 - 0,33 ) 8 - 0 + 8 ! 1 ! ( 8 - 1 ) ! ⋅   0,33 1   ⋅   ( 1 - 0,33 ) 8 - 1 + 8 ! 2 ! ( 8 - 2 ) ! ⋅   0,33 2   ⋅   ( 1 - 0,33 ) 8 - 2 +   8 ! 3 ! ( 8 - 3 ) ! ⋅   0,33 3   ⋅   ( 1 - 0,33 ) 8 - 3 = 0,74

então a probabilidade de a cada 8 pessoas entrevistadas por cada pesquisador, 3 serem telespectadores habituais é de 74,29%. Considerando 200 telespectadores, temos que:

200 ⋅ 0,74 = 148 pesquisadores

Sendo assim, 148 pesquisadores responderão que até 3 pessoas entrevistadas são telespectadores habituais.

Resposta

148 pesquisadores.

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