Enunciado

Um aluno vai resolver um questionário composto de 10 questões, onde em cada questão só existem 2 opções (certo ou errado). Calcular:

  1. a probabilidade desse aluno adivinhar pelo menos 6 dessas questões;
  2. a média e o desvio padrão do número de questões que ele deve acertar.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?!

No item a) de acordo com o conceito de Distribuição Binominal

Seja uma experiência aleatória que pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada prova: realização de um evento E (quando dizemos que houve sucesso), ou a não realização desse evento E (quando dizemos que houve insucesso). Suponhamos que essas n provas sejam independentes e que, em cada prova, as probabilidades de obter sucesso (p) e de obter insucesso (q) sejam constantes. Portanto:

P ( E ) = p

P ( E - ) = q = 1 - p

Consideramos agora o número de vezes (X) em que o evento E ocorre nas n provas independentes e então o número de vezes em que o evento E _   (não ocorre E) será ( n - X ) . Considerando X como variável aleatória, temos então definida a distribuição Binomial.

Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucesso é:

P x =   C n , x ⋅ p x   ⋅ ( 1 - p ) n - x  

onde,

  • X = número de acertos, no caso, 6
  • p = probabilidade de sucesso, no caso, só existem 2 opções (certo ou errado), então 50% = 0,5
  • n = 10

obs: Lembramos, da Análise Combinatória, que:

C n , x =   n ! x ! ( n - x ) !

temos que:

P ( x ≥ 6 ) =   P ( x = 6 ) + P ( x = 7 ) + P ( x = 8 ) + P ( x = 9 ) + P ( x = 10 )

P ( x ≥ 6 ) = 10 ! 6 ! ( 10 - 6 ) ! ⋅   0,5 6   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 10 - 6 + 10 ! 7 ! ( 10 - 7 ) ! ⋅   0,5 7   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 10 - 7 + 10 ! 8 ! ( 10 - 8 ) ! ⋅   0,5 8   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 10 - 8 +   10 ! 9 ! ( 10 - 9 ) ! ⋅   0,5 9   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 10 - 9 + 10 ! 10 ! ( 10 - 10 ) ! ⋅   0,5 10   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 10 - 10 = 0,3770

ou seja:

P ( x ≥ 6 ) =37,70%

Passo 2

No item b) queremos a média ( μ ) e o desvio padrão ( σ )

Sendo a média:

μ ( x ) = ∑ i = 1 n [ X i ∙ P X i ]

E variância:

σ 2 ( X ) = ∑ i = 1 n [ ( X i - μ ) 2 ⋅   P ( X i ) ]

De acordo com os parâmetros de distribuição, fazendo uma série de transformações algébricas chegaremos a:

μ =   n ⋅   p

σ 2 = n ⋅ p ⋅ ( 1 - p )

Substituindo valores temos:

μ =   10 ⋅   0,5 = 5 questões

σ 2 = 10 ⋅ 0,5 ⋅ ( 1 - 0,5 ) = 2,5 =   1,58 questões

Resposta

  1. 37,70
  2. μ =   5 questões

σ   =   1,58 questões

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