Enunciado

Testar se o nascimento de homens e mulheres é igualmente provável, se em uma pesquisa com 120 famílias de 4 crianças, escolhidas ao acaso, revelou ( α = 0,05 ):

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

Para este exercício iremos utilizar o Teste de aderência, onde admitimos, por hipótese, que a distribuição populacional seja descrita por determinado modelo de distribuição de probabilidade (tais como a Binomial, Normal, Poisson, etc.) e verificamos a boa ou má aderência dos dados amostrais ao modelo.

Iremos utilizar a seguinte equação, para sabermos se as diferenças existentes entre as frequências observadas e esperadas diferem significativamente:

X ϕ 2 = ∑ O j - E j 2 E j

Onde:

  • X ϕ 2 estatística do teste, com ϕ graus de liberdade
  • O j frequências observadas
  • E j frequências esperadas
  • j = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ ,   k
  • n número de elementos da amostra
  • k número de classes ou valores considerados

Então agora iremos seguir o roteiro:

  1. Enunciar as hipóteses, H 0 e H 1 .
  2. Fixar o nível de significância ( α ) do teste e escolher a variável X ϕ 2 , atentando para o número de graus de liberdade.
  3. Determinar a região crítica:
  4. Calcular a variável:
  5. X ϕ 2 = ∑ O j - E j 2 E j

  6. Conclusão: se X ϕ 2 > X ϕ , α 2 rejeita-se H 0 .

Passo 2

Então vamos lá para o nosso exercício:

  1. H 0 : nascimento é igualmente provável;
  2. H 1 : nascimento não é igualmente provável.

  3. α = 0,05
  4. ϕ = k - 1 - r = 5 - 1 - 1 = 3

    Então: X 3 2

  5. Para determinarmos a região crítica iremos utilizar a Tabela de Distribuição qui-quadrado:
  6. Passo 3

  7. Calcular a variável:
  • Sabemos que os eventos de uma distribuição binomial, obedecem a seguinte fórmula:

P x = C n , x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Onde:

C n , x = n ! x ! ∙ n - x !

No nosso exercício, temos 4 crianças, então:

C 4 , x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) 4 - x

Onde p = proporção de meninos.

Agora iremos determinar o valor p de acordo com a distribuição de frequência observada ou real, a fim de determinarmos a probabilidade do nascimento de meninos:

μ = n p = 4 ∙ p

De acordo com a frequência observada, o número médio de meninos é:

μ = ∑ X i p i = 0 ∙ 9 1 20 + 1 ∙ 19 1 20 + 2 ∙ 63 1 20 + 3 ∙ 2 2 1 20 + 4 ∙ 7 120 = 1 , 99

Igualando a média obtida à média teórica:

1 , 99 = 4 ∙ p

p = 0 , 498

Portanto:

P x = C 4 , x ∙ ( 0 , 498 ) x ∙ ( 0 , 502 ) 4 - x

P x = 4 ! x ! ∙ 4 - x ! ∙ ( 0,498 ) x ∙ ( 0,502 ) 4 - x

Sabemos que:

X ϕ 2 = ∑ O j - E j 2 E j

Porém, quando ∑ O j = ∑ E j = n , podemos escrever:

X ϕ 2 = ∑ O j 2 E j - n

Então:

X 3 2 = ( 9 ) 2 8 + ( 19 ) 2 30 + ( 63 ) 2 45 + ( 2 2 ) 2 30 + ( 7 ) 2 7 - 1 20 = 13,67

  • Conclusão: X 3 2 > X 3 ; 0,05 2 ou 13,67 > 7,81 logo rejeita H 0 , então o nascimento de homens e mulheres não é igualmente provável com α = 0,05 .
  • Prontinho pessoal, até mais!

    Resposta

    X 3 2 = 13,67 , rejeita H 0 , ou seja, nascimento não é igualmente provável.

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