Enunciado

Três moedas desconhecidas foram lançadas 200 vezes, anotando-se o número de coroas surgidas em cada lançamento. Para α = 0,05 , testar a hipótese de que as moedas são honestas ajustando uma binomial.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

Para este exercício iremos utilizar o Teste de aderência, onde admitimos, por hipótese, que a distribuição populacional seja descrita por determinado modelo de distribuição de probabilidade (tais como a Binomial, Normal, Poisson, etc.) e verificamos a boa ou má aderência dos dados amostrais ao modelo.

Iremos utilizar a seguinte equação, para sabermos se as diferenças existentes entre as frequências observadas e esperadas diferem significativamente:

X ϕ 2 = ∑ O j - E j 2 E j

Onde:

  • X ϕ 2 estatística do teste, com ϕ graus de liberdade
  • O j frequências observadas
  • E j frequências esperadas
  • j = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ ,   k
  • n número de elementos da amostra
  • k número de classes ou valores considerados

Então agora iremos seguir o roteiro:

  1. Enunciar as hipóteses, H 0 e H 1 .
  2. Fixar o nível de significância ( α ) do teste e escolher a variável X ϕ 2 , atentando para o número de graus de liberdade.
  3. Determinar a região crítica:
  4. Calcular a variável:
  5. X ϕ 2 = ∑ O j - E j 2 E j

  6. Conclusão: se X ϕ 2 > X ϕ , α 2 rejeita-se H 0 .

Passo 2

Então vamos lá para o nosso exercício:

  1. H 0 : as moedas são honestas;
  2. H 1 : as moedas não são honestas.

  3. α = 0,05
  4. ϕ = k - 1 - r = 4 - 1 - 1 = 2

    Então: X 2 2

  5. Para determinarmos a região crítica iremos utilizar a Tabela de Distribuição qui-quadrado:
  6. Passo 3

  7. Calcular a variável:
  • Sabemos que os eventos de uma distribuição binomial, obedecem a seguinte fórmula:

P x = C n , x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Onde:

C n , x = n ! x ! ∙ n - x !

No nosso exercício, queremos saber o número de coroas em um lance de 3 moedas, então:

C 3 , x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) 3 - x

Onde p = proporção de coroas.

Agora iremos determinar o valor p de acordo com a distribuição de frequência observada ou real, a fim de determinarmos a probabilidade do aparecimento de coroas:

μ = n p = 3 ∙ p

De acordo com a frequência observada, o número médio de coroas é:

μ = ∑ X i p i = 0 ∙ 14 200 + 1 ∙ 84 200 + 2 ∙ 70 200 + 3 ∙ 32 200 = 1,6

Igualando a média obtida à média teórica:

1,6 = 3 ∙ p

p = 0,533

Portanto:

P x = C 3 , x ∙ ( 0,533 ) x ∙ ( 0,467 ) 3 - x

P x = 3 ! x ! ∙ 3 - x ! ∙ ( 0,533 ) x ∙ ( 0,467 ) 3 - x

Sabemos que:

X ϕ 2 = ∑ O j - E j 2 E j

Porém, quando ∑ O j = ∑ E j = n , podemos escrever:

X ϕ 2 = ∑ O j 2 E j - n

Então:

X 2 2 = ( 14 ) 2 20 + ( 84 ) 2 70 + ( 70 ) 2 80 + ( 32 ) 2 30 - 200 = 5,98

  • Conclusão: X 2 2 < X 2 ; 0,05 2 ou 5,98 < 5,99 logo aceita H 0 , e as moedas podem ser consideradas honestas para α = 0,05 .
  • Prontinho pessoal, até mais!

    Resposta

    X 2 2 = 5,98 , aceita H 0 , ou seja, as moedas são honestas.

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