Enunciado

(a) Uma urna contém n bolas brancas e m bolas pretas. As bolas são retiradas uma de cada vez até que somente aquelas de mesma cor sejam deixadas. Mostre que, com probabilidade n/(n + m), todas elas são brancas. Dica: Imagine que o experimento continue até que todas as bolas sejam removidas, e considere a última bola sacada.

(b) Um lago contém 3 espécies distintas de peixes, que chamaremos de R, B e G. Há r peixes R, b peixes B e g peixes G. Suponha que os peixes sejam retirados do lago em uma sequência aleatória (isto é, em cada seleção tem-se a mesma probabilidade de retirar-se qualquer um dos peixes restantes).

Qual é a probabilidade de que os peixes do tipo R correspondam à primeira espécie a ser extinta no lago?

Dica: Escreva P{R} = P(RBG) + P{RGB} e calcule as probabilidades no lado direito da igualdade primeiro condicionando nas últimas espécies a serem removidas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Ao estender a observação até a última bola ser retirada, as probabilidades não são

mudado. Cada permutação é igualmente provável, e cada uma das m + n bolas tem a mesma probabilidade de ser o último sorteado.

E caso as bolas pretas sejam as primeiras a serem retiradas (somente as bolas brancas

restante) é equivalente a um evento que uma bola branca é a última retirada

Como qualquer uma das m + n bolas tem a mesma probabilidade de ser sorteada por último, e há bolas brancas bolas, a probabilidade desejada é

n n + m

Passo 2

B – Temos a seguinte situação para esta questão

P R = P R G B + P R B G

Que é igual a

P R = P R B U l t i m o   G P U l t i m o   G + P R G U l t i m o   B P ( U l t i m o   B )

Aqui, a primeira linha está na dica de que o vermelho, depois o azul e o peixe verde são extintos. A segunda linha é uma forma útil de probabilidade de interseções

As probabilidades das condições são facilmente calculadas como em a), qualquer um dos peixes r + b + g pode ser o último pescado e o evento em que os peixes verdes ou azuis são os últimos a serem extintos é equivalente a um peixe azul e um verde ser o último no lago, portanto:

P U l t i m o   G = g r + b + g   e   P U l t i m o   B = b r + b + g

Passo 3

Para a probabilidade de P { R B | U l t i m o   G } , nós temos que cada permutação de r+b+g peixe pode ser a ordem em que os peixes são capturados, e da combinatória, vemos que cada permutação de r + b, o peixe vermelho e azul tem a mesma probabilidade de ser a ordem em que esses peixes são capturados. Nas palavras, o peixe verde pode ser ignorado.

Novamente, como em a), cada um dos peixes r + b tem a mesma probabilidade de ser o último sorteado, e RG é a ordem se o último for azul

P R B U l t i m o   G = b r + b

Assim como

P R G U l t i m o   B = g r + g

Logo, juntando tudo

P R = b r + b ∙ g r + b + g ∙ g r + g ∙ b r + b + g

E finalmente,

P R = b g r + b + g 1 r + b + 1 r + g

Resposta

P R = b g r + b + g 1 r + b + 1 r + g

Exercícios de Livros Relacionados

Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de 40 anos, 60 % são ou foram casadas e 40 % são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano
Dois armários guardam as bolas de voleibol e basquete. O armário 1 tem 3 bolas de voleibol e 1 de basquete, enquanto o armário 2 tem 3 bolas de voleibol e 2 de basquete. Escolhendo-se, ao acaso, um ar
Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de 40 anos, 60 % são ou foram casadas e 40 % são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano
Dois armários guardam as bolas de voleibol e basquete. O armário 1 tem 3 bolas de voleibol e 1 de basquete, enquanto o armário 2 tem 3 bolas de voleibol e 2 de basquete. Escolhendo-se, ao acaso, um ar
A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período, Sexo e Opinião sobre a Reforma Agrária. Determine a probabilidade de escolhermos:d. Uma pessoa sem o