Enunciado

Uma urna contém b bolas pretas e r bolas vermelhas. Uma das bolas é sorteada, mas quando ela é colocada de volta na urna, c bolas adicionais da mesma cor são colocadas juntamente com ela. Agora, suponha que sorteemos outra bola. Mostre que a probabilidade de que a primeira bola tenha cor preta, dado que a segunda bola sorteada seja vermelha, é b/(b + r + c).

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos tirar bolas de caixas.

a) Vamos pensar primeiramente nas possibilidades da segunda bola ser vermelha.

Há duas possibilidades, ou as c bolas adicionadas na urna são pretas ou elas são vermelhas:

Para o caso das c bolas serem vermelhas é a mesma probabilidade de retirar a primeira bola e ela ser vermelha, e essa probabilidade é de:

r b + r

E depois disto teremos c + r + b bolas e r + c são bolas vermelhas. Como queremos saber a probabilidade de retirar uma bola vermelha:

r + c c + r + b

Então a probabilidade de sair uma bola vermelha na primeira urna e depois retirar uma bola vermelha na segunda urna:

r b + r ⋅ r + c c + r + b

Passo 2

Agora vamos para o caso 2, onde a primeira bola é preta e a segunda é vermelha.

Para as c bolas serem pretas é a mesma probabilidade de retirar a primeira bola e ela ser preta, e essa probabilidade é de:

b b + r

E depois disto teremos c + r + b bolas e queremos saber a probabilidade de retirar uma bola vermelha:

r c + r + b

Então a probabilidade de sair uma bola preta na primeira urna e depois retirar uma bola vermelha na segunda urna:

b b + r ⋅ r c + r + b

Passo 3

E a probabilidade de sair uma bola vermelha será a soma destas duas probabilidades calculadas anteriormente.

r b + r ⋅ r + c c + r + b + b b + r ⋅ r c + r + b

E a probabilidade de que a primeira bola tenha cor preta e que a segunda bola sorteada seja vermelha é de:

b b + r ⋅ r c + r + b

Então a probabilidade condicional se torna:

b b + r ⋅ r c + r + b r b + r ⋅ r + c c + r + b + b b + r ⋅ r c + r + b

Simplificando:

b r + b + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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