Enunciado

Uma urna contém inicialmente 1 bola vermelha e 1 bola azul. Em cada rodada, uma bola é retirada aleatoriamente e substituída por duas outras bolas de mesma cor (por exemplo, se a bola vermelha é a primeira a ser escolhida, então haverá 2 bolas vermelhas e 1 bola azul na urna quando ocorrer a próxima seleção). Mostre por indução matemática que a probabilidade de que existam exatamente i bolas vermelhas na urna após n rodadas é de 1 n + 1 , 1 ≤ i ≤ n + 1 .

Passo 1

E aí, povo, tudo belezinha?! Nessa questão ele quer que a gente use o princípio da indução pra mostrar essa probabilidade pedida. O princípio da indução consiste em provar que um enunciado é válido para todos os números naturais  n  e consiste de dois passos:

1. Mostrar que o enunciado vale para n = 0, ou n = 1, dependendo da definição utilizada.

2. Mostrar que, se o enunciado vale para  n = k , então o mesmo enunciado vale para 

n = k + 1 .

Passo 2

Vamos chamar de E i o evento em que temos i bolas vermelhas na urna após a n-ésima rodada, e a suposição é:

P E i = 1 n + 1 ,   i = 1,2 , … , n + 1

Vamos seguir o passo a passo do princípio da indução, para n = 0 já sabemos que a expressão acima é válida. Vamos ver o que ocorre com B j ,   j = 1,2 , … , n + 2 . Onde J represente o evento em que há j bolas vermelhas na urna após a (n + 1)-ésima rodada.

Daí:

P B j = ∑ i = 1 n + 1 P B j E j . P E i      

1 n + 1 ∑ i = 1 n + 1 P B j E i

1 n + 1 P B j E j - 1 + P B j E j

Passo 3

Como há n + 2 bolas na urna após a n-ésima rodada, tem-se que P ( B j | E j - 1 ) é a probabilidade de que uma bola vermelha seja escolhida quando j - 1 das n + 2 bolas na urna são vermelhas, e P ( B j | E j ) é a probabilidade de que uma bola vermelha não seja escolhida quando j das n + 2 bolas na urna são vermelhas.

Assim, finalmente podemos escrever:

P B j E j - 1 = j - 1 n + 2 ,                                           P B j E j = n + 2 - j n + 2

Assim, nossa sentença agora pode ser provada para n+1 substituindo as expressões acima na expressão para P ( B j ) , já encontrada anteriormente.

P ( B j ) 1 n + 1 P B j E j - 1 + P B j E j = 1 n + 1 j - 1 n + 2 + n + 2 - j n + 2

P B j = 1 n + 2

Chatinha essa né, mas nada que não dê pra noixx. 😊

Matamos e até a próxima!!!

Resposta

Demonstração

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