Enunciado

Variáveis aleatórias dependentes e independentes Duas variáveis aleatórias x e y são independentes quando o valor de x não afeta o valor de y. Quando as variáveis não são independentes, elas são dependentes. Uma nova variável aleatória pode ser formada ao se encontrar a soma ou diferença das variáveis aleatórias. Se uma variável aleatória x tem média μ x , e uma variável aleatória y tem média μ y , então as médias da soma e da diferença das variáveis serão dadas pelas seguintes fórmulas:

μ x + y = μ x + μ y                               μ x - y = μ x - μ y

Se as variáveis aleatórias são independentes, a variância e o desvio padrão da soma ou diferença das variáveis aleatórias podem ser encontrados. Portanto, se uma variável aleatória x tem variância σ x 2 e uma variável aleatória y tem variância σ y 2 , as variâncias da soma e da diferença das variáveis serão dadas pelas fórmulas a seguir. Note que a variância da diferença é a soma das variâncias.

σ x + y 2 = σ x 2 + σ y 2                                 σ x - y 2 = σ x 2 + σ y 2

Nos exercícios 41 e 42, a distribuição da pontuação do SAT para alunos pré-universitários tem média de 1.512 e um desvio padrão de 322. A distribuição da pontuação do SAT para alunas pré-universitárias tem uma média de 1.486 e um desvio padrão de 311. Um aluno e uma aluna são escolhidos aleatoriamente. Suponha que seus resultados sejam independentes. (Fonte: The College Board.)

42. Qual é o desvio padrão da diferença de seus resultados?

Passo 1

Fala galerinha boa, tudo bem? Vamos para mais uma questão de distribuição de probabilidades. Dessa vez, sobre transformação linear de variável aleatória.

Sabemos que a distribuição da pontuação do SAT para alunos pré-universitários tem média de 1.512 e um desvio padrão de 322. Sendo X essa variável aleatória, temos:

μ x = 1512

E o desvio padrão de X é:

σ x = 322

Também temos que a distribuição da pontuação do SAT para alunas pré-universitárias tem média de 1. 486 e um desvio padrão de 311. Sendo Y essa variável aleatória, temos:

μ y = 1486

E o desvio padrão de Y é:

σ y = 311

Passo 2

Não se pode somar nem subtrair desvios em uma nova variável aleatória, pois as medidas tem grandezas diferentes. Para se calcular o desvio padrão de uma variável aleatória transformada linearmente, deve-se somar as variâncias e tirar a raiz quadrada (mesmo nos casos de subtração, pois como a variância é uma medida quadrática, o -1 vai para fora elevado ao quadrado).

σ x - y 2 = σ x 2 + σ y 2

Sendo assim, precisamos calcular as variâncias de X e Y, que serão, respectivamente, seus desvios elevados ao quadrado, já que buscamos a conta inversa da raiz quadrada.

σ x 2 = 322 2 = 103684

σ y 2 = 311 2 = 96721

Passo 3

Agora sim, podemos calcular o desvio padrão de X - Y.

σ x - y = σ x 2 + σ y 2

σ x - y = 200405

σ x - y = 447,67

O desvio padrão das diferenças é 447,67 pontos.

E é isso galerinha. Até a próxima!

Resposta

σ x - y = 447,67

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma variável aleatória? Dê um exemplo de uma variável aleatória discreta e de uma variável aleatória contínua. Justifique sua resposta.
Verdadeiro ou falso? Nos exercícios 5 a 8, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, reescreva-a de forma que seja verdadeira.A média da variável aleatória de uma distribuição de p
Análise gráficaNos exercícios 9 a 12, determine se a conjunto numérico representa uma variável aleatória discreta ou uma variável aleatória contínua. Explique seu raciocínio.O público em uma apresenta
O que é uma variável aleatória? Dê um exemplo de uma variável aleatória discreta e de uma variável aleatória contínua. Justifique sua resposta.
Nos exercícios 7 e 8, identifique a população e a amostra. Um estudo com 61.522 pacientes com medicação prescrita descobriu que eles tinham menos probabilidade de ser persistentes em refazer suas medi