Enunciado

Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam em fora dos intervalos especificados).

a. f x = 3 x ,   s e   0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Eai,tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

O exercício nos pede para verficar se função é ou não de densidade de probabilidade, lembrando que fora do intervalo elas são nulas. Certo?

Pois bem, você se lembra desse conceito? Porque se não, é hora de dar aquela revisão!

Para verificarmos o que enunciado nos pede, precisamos verificar se a função satisfaz as seguintes hipóteses:

  1. f x ≥ 0 ,   para todo x ;
  2. A área definida por f ( x ) é igual a 1 .

Bora então resolver esse exercício?

Passo 2

Observe que o item i é satisfeito, por 3 × x ≥ 0 para quaisquer valores que tomarmos entre o intervalo 0 ≤ x ≤ 1 .

Agora, vamos verificar se o item ( i i ) é satisfeito. Ou seja, se:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1 .

Passo 3

Calculando a integral, temos que:

∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ 0 1 3 x d x = ( 3 × x 2     2 ) = 3 2 1 2 - 0 2 = 3 2 ≠ 1 .        

Como a área definida por f ( x ) é igual a 3 / 2 , que é diferente de 1 , então concluímos que a função não satisfaz a hipótese ( i i ) para ser uma função de probabilidade.

Resposta

Logo, a função do enunciado não é uma função de probabilidade.

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