Enunciado

Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam em fora dos intervalos especificados).

b. f x = x 2 2 , x ≥ 0 .

Passo 1

Eai,tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

O exercício nos pede para verficar se função é ou não de densidade de probabilidade, lembrando que fora do intervalo elas são nulas. Certo?

Pois bem, você se lembra desse conceito? Porque se não, é hora de dar aquela revisão!

Para verificarmos o que enunciado nos pede, precisamos verificar se a função satisfaz as seguintes hipóteses:

  1. f x ≥ 0 ,   para todo x ;
  2. A área definida por f ( x ) é igual a 1 .

Bora então resolver esse exercício?

Passo 2

Observe que o item i é satisfeito, por x 2 / 2 ≥ 0 para quaisquer valores que tomarmos entre o intervalo x ≥ . 0

Agora, vamos verificar se o item ( i i ) é satisfeito. Ou seja, se:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1 .

Passo 3

Calculando a integral, temos que:

∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ 0 ∞ x 2 2 d x = 1 2 × x 3 3 = 1 6 × lim b → ∞ ⁡ b 3 = ∞ ≠ 1 .        

Como a área definida por f ( x ) é diferente de 1 , então concluímos que a função não satisfaz a hipótese ( i i ) para ser uma função densidade de probabilidade.

Resposta

Logo, a função não é uma função densidade de probabilidade.

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