Enunciado

A vida de reguladores de tensão para automóveis tem uma distribuição exponencial, com uma vida média de seis anos. Você compra um automóvel com 6 anos de uso, com um regulador de tensão funcionando e planeja ficar com o carro por seis anos.

  1. Qual é a probabilidade de que o regulador de tensão falhe durante sua viagem de posse?
  2. Se o seu regulador falhar depois de você possuir o carro por três anos e se ele for trocado, qual é o tempo médio até a próximo falha?

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 6

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

E ( X ) = 6 = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 6

Passo 2

Letra a:

P ( X < 12 | X > 6 ) = P ( X < 6 ) = F ( 6 ) = 1 - e - 1 / 6 × 6 ≈ 0.63

Passo 3

Letra b:

O novo regulador tem a mesma distribuição do antigo, que é a distribuição exponencial com a média 6. Portanto:

E ( X ) = 6

Resposta

  1. 0.63
  2. 6 anos
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