Enunciado

A vida útil, em semanas, de um tipo de transistor segue uma distribuição gama com média de dez semanas e desvio-padrão de 50 semanas.

(a) Qual é a probabilidade de que o transistor dure no máximo 50 semanas?

(b) Qual é a probabilidade de que o transistor não sobreviva às dez primeiras semanas?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A variável aleatória X representa o tempo de vida do transistor.

Nós sabemos que o tempo de vida de um transistor é conhecido por seguir uma distribuição gama com média μ = 10 e desvio-padrão σ = 50 .

Sendo assim, X é uma variável aleatória gama com média μ = 10 e desvio-padrão σ = 50

De acordo com o teorema 6.4, nós temos:

α β = μ = 10

α β 2 = σ 2 = 50

Dessas duas equações, podemos extrair as informações β = 5 e α = 2 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Encontrando a probabilidade de o transistor durar no máximo 50 semanas:

P X ≤ 50 = ∫ 0 50 f ( x ; α ,   β ) d x

= ∫ 0 50 1 β α Γ α x α - 1 e - x / β d x

= 1 5 2 Γ α ∫ 0 50 x 2 - 1 e - x / 5 d x

= 1 25 ∫ 0 50 x e - x / 5 d x

Usando integral por partes, temos:

= 1 25 - 5 e - x 5 x + 5 0 50

= - 11 e - 50 / 5 + 1 5 5

P X ≤ 50 = 0,9995

Passo 3

Por fim, queremos a probabilidade de durar no máximo dez semanas, de forma similar a letra (a), temos:

P X ≤ 10 = ∫ 0 10 f ( x ; α ,   β ) d x

= - 1 5 e - x 5 x + 5 0 10

= - 3 e - 2 + 1

P X ≤ 10 = 0 , 594

Resposta

a) 0,9995

b) 0,594

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