Teste de Hipóteses para Proporções

Teoria Completa

Se você chegou até aqui, é porque tá ficando expert em teste de hipóteses!

Bom, vamos lá. Antes de tudo, é importante que você saiba que aqui nosso parâmetro vai mudar totalmente dos casos anteriores.

Vamos querer fazer um teste de hipóteses para proporções ( p ) . Esqueceu quem é esse carinha?

Vamos supor que numa população de 10000 pessoas, 7500 pessoas tenham o cabelo castanho. Qual vai ser a nossa proporção populacional  p  de pessoas com cabelo castanho? Só dividir o número de elementos com as características que queremos pelo tamanho da população:

p = 7500 10000 = 0,75

E da mesma forma que a gente tem uma proporção populacional, também vamos ter uma proporção amostral, que chamaremos de  p ^ .

Agora que você já sabe disso, vamos cair dentro desse tópico! Vamos aprender a resolver esse tipo de teste de hipóteses com um exemplo.

“Segundo uma revista, as condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é de 60%. Teste essa hipótese ao nível de significância α = 5 % , se em uma amostra de 1000 nascimentos, verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos.”

1º Passo) O primeiro passo vai ser sempre começar vendo quem é nosso parâmetro.

Lendo bem o enunciado, a gente já descobre que ele tá falando sobre proporção, ou seja, nosso amigo p .

Depois disso, vamos escrever quais são nossas hipóteses:

H 0 :   p = 0,6 H 1 :   p ≠ 0,6

O cara falou que a proporção de pessoas que sobrevivem até os 60 anos é de 60 % , então nossa hipótese nula ( H 0 ) vai conter essa igualdade.

Como a hipótese alternativa ( H 1 ) precisa contrariar H 0 , e o enunciado não falou nada sobre essa proporção ser menor ou maior que isso, vamos considerar que a proporção é diferente de 60 % .

Estamos em um teste de hipótese bilateral!

2º Passo) Calcular nossa estatística de teste.

Essa velha amiga você já conhece também, é ela que usamos pra tomar nossa decisão.

Como estamos em um caso de proporção, a gente pode considerar que estamos num caso de distribuição normal. Isso acontece lááá pela propriedade de aproximar a Binomial pela Normal.

Ufa! Distribuição normal de novo, então não deve mudar muita coisa do caso da média com σ conhecido, certo?! Quase isso, meu amigo. Vem comigo.

A fórmula pra calcular a estatística de teste no caso de um teste de hipótese para proporção vai ser:

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n

Epa, peraí! Quem é esse p ^ mesmo?

Ele é a nossa proporção amostral! Temos que olhar pra nossa amostra, e ver a proporção de sobreviventes.

p ^ = 530 1000 = 0,53

Agora vamos substituir os valores na nossa fórmula?

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n = 0,53 - 0,6 0,6 ( 1 - 0,6 ) 1000 = - 4,52

Guarda esse valor, ele é precioso! E claro, vem comigo pro próximo passo.

3º Passo) Agora precisamos descobrir qual é nossa região crítica, a região onde rejeitamos H 0 .

Por estarmos no caso da distribuição normal, aqui o passo a passo vai ser igualzinho ao teste de hipótese pra média com σ conhecido!

Como estamos num teste bilateral, nossos pontos críticos são:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,025 = z 0,975 = 1,96

- z 1 - α 2 = - z 1 - 0,025 = - z 0,975 = - 1,96

Vamos ver como isso fica no nosso desenho? Lembrando que estamos num caso da distribuição normal, então podemos trabalhar com a nossa querida curvinha.

Essa dica é bem valiosa, hein: sempre faça o desenho!

4º Passo) Olhar onde o valor da estatística de teste está no desenho.

Cara, aqui vamos ver se nosso Z t e s t e está dentro ou fora da região crítica.

Opa! Nossa estatística de teste está dentro da região crítica. E a região crítica é onde rejeitamos H 0 !

5º Passo) Tomar a decisão

Cara, como nosso valor de Z t e s t e caiu dentro da região crítica, rejeitamos nossa hipótese nula ( H 0 ) ! Ou seja, a proporção de sobreviventes é realmente diferente de 60 % .

Tranquilão, né?! Vem pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 384.

As especificações dos pentes de memória RAM para computadores fabricados pela Companhia Boa Memória indicam que a porcentagem de pentes defeituosos não excede 5%. Uma amostra de cem desses pentes apresentou sete defeituosos.

Com base nesse resultado, podemos afirmar que as especificações estão incorretas?

  1. Qual a decisão a ser tomada, ao nível de significância de 0,01?
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Passo 1

(a)

Primeiros definimos as hipóteses:

H 0 :   p ≤ 0,05

H 1 : p > 0,05

Com isso já temos como dados:

p 0 = 0,05       n = 100

σ 0 = p 0 1 - p 0 n = 0,05 × 0,95 100 = 0,022

E também que:

α = 0,01

Passo 2

Podemos notar que nossas hipóteses estão no caso2, por isso sua rejeição acontece em:

p ^ > p 0 + z 1 - α . σ 0

Vamos calcular o que falta então:

z 1 - α = z 0,99 = 2,33

Pra isso, só usei a tabela da Normal.

Com isso:

p ^ > 0,05 + 2,33 × 0,022

p ^ > 0,10

Se isso acontecer, rejeita-se H 0 .

Passo 3

Basta então calcularmos a proporção amostral, p ^ :

p ^ = 7 100 = 0,07

Como 0,07 < 0,10 , então estamos na região de aceitação.

Com isso não é possível rejeitar H 0 .

Resposta

a   n ã o   é   p o s s í v e l   r e j e i t a r   H 0

Exercício Resolvido #2

Morettin & Bussab, Estatística Básica 5ª edição, pág 337

Um fabricante garante que 90 % dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do fabricante, nos níveis de 5 % e 1 % .

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Passo 1

A proporção amostral observada de peças defeituosas foi:

p ^ = 25 200 = 0,125

Então a proporção de peças sem defeitos é:

p ^ = 1 - 0,125 = 0,875

Essa é a proporção que vamos usar no nosso teste, já que ele é sobre as peças sem defeito.

Montando as hipóteses:

H 0 :     p = 0,9

H 1 :     p > 0,9

Repara que aqui montamos para a hipótese nula, a afirmação do fabricante não está correta e para a hipótese alternativa a afirmação de que o fabricante está certo. Afinal, estamos aqui testando a afirmativa do fabricante.

Estamos então num teste unilateral superior.

Passo 2

A estatística de teste é dada por:

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n = 0,875 - 0,9 0,9 ( 1 - 0,9 ) 200 = - 1,18

E o ponto crítico para esse tipo de teste é:

z 1 - α

Primeiramente, vamos testar para α = 0,05 , então:

z 1 - α = z 0,95 = 1,64

Como a estatística deu - 1,18 e estamos num teste unilateral superior, o Z t e s t e vai estar fora da região crítica! Porque a nossa R C aqui vai ser tudo que é MAIOR que 1,64 . Então não rejeitamos a hipótese nula. Ou seja, para esse nível de significância, o fabricante não está correto, que foi a nossa hipótese H 0 .

Passo 3

Agora para vamos testar para α = 0,01 , então:

z 1 - α = z 0,99 = 2,33

Como a estatística deu - 1,18 e estamos num teste unilateral superior, o Z t e s t e também vai estar fora da região crítica! Porque a nossa R C aqui vai ser tudo que é MAIOR que 2,33 . Então não rejeitamos a hipótese nula. Para esse nível de significância, o nosso fabricante também não está correto.

Resposta

N ã o   r e j e i t a m o s   a s   h i p ó t e s e s   n u l a s .

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

A proporção de pacientes de câncer curados após 5 anos de tratamento é, segundo a literatura, de 50%. Um pesquisador deseja investigar se esta taxa é verdadeira para um determinado hospital. Para isso, ele usa uma amostra de 200 pacientes com câncer, e observa que 92 deles foram curados após 5 anos de tratamento. Teste se o dado da literatura é otimista a um nível de significância de 5%.

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Passo 1

Organizando nossos dados:

α = 0,05

p = 0,5

p ^ = 92 200 = 0,46

n = 200

Considerando as hipóteses:

H 0 :     p = 0,5

H 1 :     p < 0,5

Por que menor que na alternativa? Porque queremos verificar se essa dado da literatura não tá mais alto do que a realidade!

Passo 2

Calculando nossa estatística de teste:

Z = p ^ - p p 1 - p n = 0,46 - 0,5 0,5 1 - 0,5 200 = - 1,13

Passo 3

Agora calculamos nossa região crítica. Para o teste unilateral inferior o ponto crítico é dado por:

- z 1 - α = - z 1 - 0,05 = - z 0,95