Teste de Hipóteses para Variância Populacional

Teoria Completa

Opa, mais um teste para nossa lista?! Que beleza!

Não precisa se desesperar não! Aguenta firme que já tá acabando.

Vamos começar a ver esse negócio com um exemplo:

“Um órgão de defesa do consumidor teste regularmente o peso dos produtos vendidos em estabelecimentos comerciais. Uma empresa alega que seus produtos apresentam no máximo uma variância de 50 g ² . A inspeção de uma amostra aleatória de 15 produtos dessa empresa acusou uma variância amostral de 45 g ² . Considerando que os pesos desses produtos seguem uma distribuição Normal, teste a alegação da empresa a um nível de significância de 10 % .”

1º Passo)

Vamos primeiro fazer o que já sabemos, que é definir as hipóteses. Aqui estamos testando a variância populacional, então nossas hipóteses vão envolver σ ² . A empresa alega que a variância não passa de 50 g ² , então vamos igualá-la a isso aí na hipótese nula:

H 0 :     σ 2 = 50

E como queremos testar a alegação da empresa, na hipótese alternativa vamos dizer o contrário do que a empresa diz. Se foi dito que a variância não passa de 50 g ² , vamos dizer que ela na verdade passa disso sim, ou seja, é maior que 50 g ² :

H 1 :     σ 2 > 50

Estamos num teste unilateral superior!

2º Passo)

Agora vamos calcular nossa estatística de teste, que agora não é mais dada pela estatística Z da Normal, e sim pela estatística χ ² da distribuição Qui-Quadrado. Ela é dada por:

χ t e s t e 2 = n - 1 s ² σ ²

Onde n é o tamanho da amostra, s ² é a variância amostral e σ ² é o valor teórico da nossa variância até então (em outras palavras, é o valor que usamos na construção das hipóteses). Então substituindo na equação os valores do nosso exemplo:

χ t e s t e 2 = 15 - 1 45 50 = 12,6

3º Passo)

Agora temos que calcular nossa região crítica e ver se nossa estatística de teste está dentro dela para tomar uma decisão, como sempre fizemos.

Porééém, agora nossa região crítica também é um pouquinho diferente, já que usamos a distribuição χ ² . Nosso gráfico vai ser algo desse tipo:

A curva agora não é simétrica, pois é a curva da Qui-Quadrado! Precisamos então descobrir como achar o ponto crítico que divide o gráfico entre região de aceitação e região crítica. Vamos ver como que fica issaê para cada tipo de teste.

Teste unilateral superior:

χ c r i t i c o 2 = χ α , v 2

Onde α é o nível de significância e v é o grau de liberdade.

Temos que procurar χ α , v 2 na tabela Qui-Quadrado, ao nível de significância pedido no teste e com v graus de liberdade como parâmetros, onde:

v = n - 1

Igual a T de Student! No nosso exemplo então, queremos:

α = 0,10

v = 15 - 1 = 14

Procurando χ 0,10 ; 14 2 na tabela Qui-Quadrado...

χ 0,10 ; 14 2 = 21,064

“Uééé, mas por que você circulou o 0,90 ? O parâmetro não era o nível de significância 0,10 ?”

Sim, o nível de significância é esse mesmo! Mas o parâmetro que você vai procurar depende da tabela que tá usando. Nessa aí da imagem, repara que o parâmetro na primeira linha é um p , não α . Quando nossa tabela tiver em função de p , nós sempre procuramos o complementar do nível de significância:

p = 1 - α

Ou seja, nosso nível de confiança! Você tem que descobrir qual tipo de tabela sua universidade/professor(a) usa, e aí:

- Se for em função de p , você procura a complementar do α .

- Se em função de α , você procura o α direto mesmo.

Então nossa região crítica:

É tudo que é MAIOR que nosso ponto crítico, pois estamos num teste unilateral SUPERIOR. E lembrando que nossa estatística de teste vale 12,6 ...

Vemos que ela cai fora da região crítica. Ou seja, não rejeitamos a hipótese nula, então a variância do peso dos produtos realmente pode ser 50 g ² !

Vamos terminar de ver como são os pontos críticos e região crítica para os outros tipos de teste.

Teste unilateral inferior

O ponto crítico vai ser dado por:

χ c r i t i c o 2 = χ 1 - α , v 2

Bem parecido com o caso unilateral superior, porém agora nosso parâmetro é o 1 - α ao invés de α . Mas esse é o valore que deve ser procurado diretamente na tabela caso sua tabela esteja em função de α , não pode esquecer! Se ela estiver em função de p , você procura pelo complementar desse valor.

A região crítica fica sendo tudo que é MENOR que o ponto crítico, já que estamos num teste unilateral INFERIOR:

Teste Bilateral

Nesse caso, temos dois pontos críticos:

χ c r i t i c o 2 = χ 1 - α 2 , v 2

χ c r i t i c o 2 = χ α 2 , v 2

A diferença aqui é que nós estamos dividindo o nível de significância por dois, já que vamos ter duas áreas de rejeição. Nossa região crítica fica assim no final:

IMPORTANTE: Não podemos esquecer que a variância é o desvio padrão ao quadrado! Então com o passo-a-passo deste tópico também poderíamos ter resolvido um teste de hipótese para desvio padrão populacional. Basta lembrar de elevar o valor dele ao quadrado e resolvemos o teste como se fosse para a variância. Vamos resolver isso direitinho nos exercícios! =)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma máquina de preenchimento automático é utilizada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória de  20  garrafas resulta em uma variância da amostra do volume de enchimento de  s 2 = 0,0153 onça fluida ² . Se a variância do volume de enchimento exceder  0,01 onça fluida ² , existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas com falta ou excesso de detergente? Use  α = 0,05  e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal.

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Passo 1

Queremos testar o valor de uma variância populacional! Começamos seeempre definindo as hipóteses:

H 0 :   σ 2 = 0,01  

H 1 :   σ 2 > 0,01

Pois queremos testar se o fabricante vai ter problema no enchimento das garrafas, e isso acontece quando a variância é maior que 0,01 .

Então estamos num teste unilateral superior!

Passo 2

Vamos calcular primeiramente nossa estatística de teste para teste de hipótese da variância:

χ ² t e s t e = n - 1 s ² σ ²

χ ² t e s t e = 20 - 1 0,0153 0,01 = 29,07

Passo 3

Agora calculamos nossa região crítica. Como o nível de significância é de 5 % , nosso ponto crítico vai ser dados por:

χ 1 - α 2 = χ 0,9 5 2

E vamos ter v = 20 - 1 = 19 graus de liberdade, então podemos procurar na tabela Qui Quadrado e achar o valor desse cara:

χ 19 ;     0,9 5 2 = 30,14

Opa! Então nossa estatística de teste é menor que o ponto crítico. Isso significa que a estatística de teste caiu fora da região crítica, pois num teste unilateral SUPERIOR a RC é tudo que for MAIOR que o ponto crítico.

E se caiu fora da RC, não podemos rejeitar a hipótese nula!

Resposta

Não rejeita-se H 0 .

Exercício Resolvido #2

Prof.ª Lilian M. Lima Cunha – Estatística Aplicada II - USP

Numa determinada empresa, empregados que desempenham a mesma função têm salarios diferentes em função do tempo de casa e bonificações por desempenho. Segundo a empresa, o desvio-padrão para o salario de uma certa função é de R $   150,00 . Entrevistando 5 funcionários que desempenham essa mesma função, verificou-se que seus salários eram, respectivamente, R $   1.000 ;   R $   1.200 ;   R $   1.500 ;   R $   1300 ;   R $   900 .

Testar a afirmação da empresa com significância de 5%, supondo que os salários sejam normalmente distribuídos.

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Passo 1

Queremos testar o valor de um desvio padrão populacional! Para isso, basta lembrarmos que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Então se elevarmos os valores de desvio padrão ao quadrado, podemos realizar esse teste normalmente como fazemos para a variância.

σ = 150

σ 2 = 150 2 = 22500

Então agora definimos as hipóteses:

H 0 :   σ 2 = 22500  

H 1 :   σ 2 ≠ 22500

Pois queremos testar se o desvio padrão é igual ao valor relatado pela empresa ou não.

Então estamos num teste bilateral!

Passo 2

Para continuar nossa questão, precisamos do valor da variância amostral s ² . E para calculá-la, precisamos do valor da média amostral. Então vamos lá:

x - = 1000 + 1200 + 1500 + 1300 + 900 5 = 1180

E daí calculamos a variância amostral:

s 2 = ∑ i = 1 n ( x i - x - ) ² n - 1

s 2 = 1000 - 1180 2 + 1200 - 1180 2 + 1500 - 1180 2 + 1300 - 1180 2 + ( 900 - 1180 ) ² 5 - 1

s 2 = 57000

Agora podemos calcular nossa estatística de teste para teste de hipótese da variância:

χ ² t e s t e = n - 1 s ² σ ²

χ ² t e s t e = 5 - 1 57000 22500 = 10,13

Passo 3

Agora calculamos nossa região crítica. Como o nível de significância é de 5 % , nossos pontos críticos vão ser dados por:

χ 1 - α 2 2 = χ 0,975 2

χ α 2 2 = χ 0,025 2

E vamos ter v = 5 - 1 = 4 graus de liberdade, então podemos procurar na tabela Qui Quadrado e achar o valor desses caras:

χ 0,975 ;     4 2 = 11,143

χ 0,025 ;     4 2 = 0,484