Teste para coeficiente de correlação

Teoria Completa

Agora vamos para o último teste galera! Aehoooo! Mas sinto-lhes informar esse é o mais diferente de todos.

Vocês lembram do coeficiente de correlação? Aquele ρ? Então senão lembra vou dar uma resumida aqui mas é importante voltar na matéria para saber direitinho quem é ele.

Então o coeficiente de correlação é um número que varia de -1 a 1, que diz o quanto uma variável é linearmente correlacionada com a outra. Sendo quanto mais próximo de -1 as variáveis têm uma correlação inversamente proporcional, quanto mais próximo a 1 elas tem uma correlação proporcional e quanto mais próximo de 0 menos correlação linear.

Este ρ é o coeficiente de correlação da população, que dificilmente sabemos então geralmente usamos o r que é seu estimador:

r = ∑ ( X i - X - ) ( Y i - Y - ) ∑ ( X i - X - ) 2 . ∑ ( Y i - Y - ) 2

Tá tá, tudo isso você sabe mas por que eu to falando disso agora? Porque podemos fazer dois testes com essa estatística: Se ρ = 0 ou se ρ = ρ0.

  • ρ = 0
  • O caso mais tranquilo:

    Imagina a seguinte situação queremos testar se existe correlação entre o número de torcedores de um time e sua pontuação no último campeonato, para isso selecionamos, cinco times ao acaso:

    Escolhemos como hipóteses:

    H 0 : ρ = 0   v s   H 1 : ρ ≠ 0

    A estatística de teste é um pouco estranha mas é mais bonita que o caso abaixo, sem pânico:

    t = r n - 2 1 - r 2

    Que tem uma distribuição muito próxima da t de student com n-2 graus de liberdade, e para esse caso teremos t(3) pois temos 5 times.

    Rejeitaremos a hipótese nula, a um nível de significância 0,10, quando

    R C = P t < - 2,353 + P ( t > 2,353 )

    Calculando o coeficiente de correlação da amostra, isto é, o r:

    r = 0,2652

    Relembrando que a fórmula do r tá aí em cima.

    Aplicando em t:

    t = 0,2652 5 - 2 1 - 0,2652 2 = 0,4764

    Como 0,4764 está contido no intervalo [-2,353; 2,353] não rejeitamos H0, isto é temos evidência que a correlação não existe.

  • ρ = ρ0

Imagine a seguinte situação: Em uma escola, o coeficiente de correlação entre os alunos que iam mais a aula e suas notas nas provas, era 0,8. Aí foram contratados professores melhores e mais caros. Ao pegar uma amostra de 30 alunos com esses novos professores o coeficiente de correlação foi 0,9. Você diria que houve uma melhora significativa?

Escolhemos como hipóteses:

H 0 : ρ X , Y = 0,8   v s   H 1 : ρ X , Y > 0,8

A estatística de teste será um pouco estranha mas nada que não podemos trabalhar:

φ = 1 2 l n 1 + r 1 - r

Que tem uma distribuição muito próxima de uma Normal N(μ,σ²), onde:

μ = 1 2 l n 1 + ρ 0 1 - ρ 0   e   σ 2 = 1 n - 3

Para esse caso teremos:

μ = 1 2 l n 1 + 0,8 1 - 0,8   e   σ 2 = 1 27

μ = 1,0985   e   σ 2 = 0,037

Rejeitaremos a hipótese nula, a um nível de significância 0,05, quando

R C = P t > 1,0985 + 1,654 0,037 = P ( t > 1,417 )

Calculando t, para r=0,9

φ = 1 2 l n 1 + 0,9 1 - 0,9 = 1,472

Como 1,472>1,417 rejeitamos H0, isto é temos evidência que a correlação aumentou com os novos professores.

Acabou aqui? Não! Podemos como temos evidências que a correlação aumentou, podemos calcular um intervalo de confiança para essa nova correlação.

Precisamos achar dois valores φ 1   e   φ 2 tais que a:

P φ 1 < φ < φ 2 = α

Então o intervalo para μ φ será:

I C μ φ ;   α = φ ± z α / 2 σ 2

Onde já calculamos o φ, também já temos o σ 2 , e o z α / 2 precisamos definir um nível para olharmos na tabela, que tal α = 0,05. Logo:

I C μ φ ;   0,05 = 1,472 ± 1,96   .   0,19 = [ 1,09 ; 1,85 ]

Então para acharmos o intervalo de ρ, precisamos lembrar da relação entre μ φ   e   ρ

μ = 1 2 l n 1 + ρ 0 1 - ρ 0 < = > r = e 2 μ - 1 e 2 μ + 1

Aplicando aos valores de μ encontrados no IC acima

ρ = e 2,18 - 1 e 2,18 + 1 = 0,79

ρ = e 3,7 - 1 e 3,7 + 1 = 0 , 9 5

Logo o IC(ρ;0,95)=[0,79; 0,95]

Mas para o caso ρ = 0 é igual? É! Agora é só fazer os exercícios e correr pro abraço

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Exercício Resolvido #1

Faça o teste para um nível de significância 2%.

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Passo 1

Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre as disciplinas, isto é, o caso ρ = 0.

Passo 2

Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 10 G.L e o nível de 1%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.

R C = P t < - 2 , 764 + P ( t > 2 , 764 )

Passo 3

Nesse exercício demos sorte, pois ele nos fornece o r, então basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:

t = r n - 2 1 - r 2

t = 0,6 10 1 - 0,36 = 2,371

- "

Como 2,371 está contido no intervalo [-2,764; 2,764], não rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 2% temos evidência que a correlação não existe.

"

Resposta

Exercício Resolvido #2

Faça o teste para um nível de significância 5%.

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Passo 1

Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre o volume de uma carga e o tempo gasto, isto é, o caso ρ = 0.

Passo 2

Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 7 G.L e o nível de 2,5%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.

R C = P t < - 2 , 365 + P ( t > 2 , 365 )

Passo 3

Agora precisamo calcular o r, por aquela fómula que é grande.

r = ∑ ( X i - X - ) ( Y i - Y - ) ∑ ( X i - X - ) 2 . ∑ ( Y i - Y - ) 2

r = 0,9795

Passo 4

Agora basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:

t = r n - 2 1 - r 2

t = 0 , 9795 7 1 - 0 , 9594 = 1 2 , 8647

Passo 5

Como 12,8647 não está contido no intervalo [-2,365; 2,365], rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 5% temos evidência que a correlação existe.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Faça o teste para um nível de significância 5%.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre o número de clientes e os anos de experiência de agentes de seguros, isto é, o caso ρ = 0.

Passo 2

Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 3 G.L e o nível de 2,5%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.

R C = P t < - 3 , 182 + P ( t > 3 , 182 )

Passo 3

Agora precisamo calcular o r, por aquela fómula que é grande.

r = ∑ ( X i - X - ) ( Y i - Y - ) ∑ ( X i - X - ) 2 . ∑ ( Y i - Y - ) 2

r = 0,9 5

Passo 4

Agora basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:

t = r n - 2 1 - r 2

t = 0,95 3 1 - 0,9 02 5 = 5,254

Passo 5

Como 5,254 não está contido no intervalo [-3,182; 3,182], rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 5% temos evidência que a correlação existe.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Faça o teste para um nível de significância 5%.

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Passo 1

Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se a correlação entre a nota final num curso de treinamento de operários e a sua produtividade aumentou, isto é, o caso ρ = ρ0.

Passo 2

Primeiramente temos que encontrar os parâmetros da normal que rege nossa estatística de teste e eles são:

μ = 1 2 l n 1 + ρ 0 1 - ρ 0   e   σ 2 = 1 n - 3

μ = 1 2 l n 1 + 0,5 1 - 0,5 = 0,549   e   σ 2 = 1 25 = 0,04

Passo 3

Agora vamos encontrar a região crítica do teste pela Normal que encontramos acima:

R C = P t > 0,549 + 1,654 0,04 = P ( t > 0,878 )

Passo 4

Encontrando o valor para a estatística de teste agora temos:

φ = 1 2 l n 1 + r 1 - r

φ = 1 2 l n 1 + 0,65 1 - 0,65 = 0,774

Passo 5

Como 0,774   <   0,878 , não rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 5% não temos evidência que a correlação aumentou.

Resposta

Exercício Resolvido #5