Exercícios Resolvidos de Propriedades de misturas e fugacidade

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Enunciado

2 tanques rígidos e isolados estão conectados por uma válvula. Inicialmente, tem-se 0,79 kmol de N2 a 2 bars e 250K em um dos tanques. O outro tanque contém 0,21 kmol de O2 a 1 bar e 300K. A válvula é aberta e um processo de mistura sem troca de calor ou trabalho com o ambiente externo ao tanque acontece, até que um estado de equilíbrio é atingido.

Dados: c - v O 2 = 0,66 k J k g   K ;   c - v N 2 = 0,75   k J k g   K ; c - p O 2 = 29,3 k J k g   K ;   c - p N 2 = 29,13   k J k g   K

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Primeiro vamos calcular a temperatura final da mistura pela variação da energia interna, que é função apenas da temperatura. Como não há trabalho nem calor externo então temos que a energia interna do sistema permanece a mesma: Δ U = 0 .

A energia interna de um gás ( i ) numa mistura pode ser dada em função do número de mols n i , a temperatura e a energia interna molar desse gás ( u - i ). Logo

U 1 = n N 2 u - N 2 T N 2 + n O 2 u - O 2 T O 2

U 2 = n N 2 u - N 2 T 2 + n O 2 u - O 2 T 2

Como Δ U = 0

n N 2 u - N 2 T N 2 + n O 2 u - O 2 T O 2 = n N 2 u - N 2 T 2 + n O 2 u - O 2 T 2

obs: Aqui a temperatura não está sendo multiplicada pela energia interna, ao invés disso, indica apenas em qual temperatura aquela energia interna está sendo avaliada (como se fosse uma função, até porque de fato a energia interna é função da temperatura).

lembrando que a energia interna específica molar u - i é dada por

u - i = c - v i Δ T

Vamos ter

n N 2 c - v N 2 T N 2 + n O 2 c - v O 2 T O 2 = n N 2 c - v N 2 T 2 + n O 2 c - v O 2 T 2

obs: Agora a temperatura está de fato sendo multiplicada pelo c v .

Dessa forma podemos isolar T 2 que é a temperatura final e obtemos:

T 2 = n N 2 c - v N 2 T N 2 + n O 2 c - v O 2 T O 2 n N 2 c - v N 2 + n O 2 c - v O 2

Passo 6

Agora vamos substituir os dados da questão:

  • n N 2 = 0,79   k m o l
  • n O 2 = 0,21   k m o l
  • c - v O 2 = 0,66 k J k g   K
  • c - v N 2 = 0,75   k J k g   K
  • T O 2 = 300 K
  • T N 2 = 250 K

T 2 = 0,79 ⋅ 0,75 ⋅ 250 + 0,21 ⋅ 0,66 ⋅ 300 0,79 ⋅ 0,75 + 0,21 ⋅ 0,66 = 260 K

Passo 7

Agora vamos calcular a pressão final da mistura. Vamos fazer isso utilizando a equação geral dos gases perfeitos.

p V = n R - T

O pulo do gato aqui é lembrar que o volume da mistura é a soma dos volumes antes da mistura, isolando o volume para cada gás vamos ter

V N 2 = n N 2 R - T N 2 p N 2

V N 2 = 0,79 ⋅ 8,314 ⋅ 250 2.10 5 = 8,21 ⋅ 10 - 3 m ³

Para o oxigênio

V O 2 = n O 2 R - T O 2 p O 2

V O 2 = 0,21 ⋅ 8,314 ⋅ 300 1 ⋅ 10 5 = 5,24 ⋅ 10 - 3 m ³

V f = 8,21 + 5,24 ⋅ 10 - 3 = 13,45 ⋅ 10 - 3 m ³

Agora voltamos à equação dos gases para o estado final, que fica da forma:

p V = n R - T

p = n R - T V

p = 1 ⋅ 8,314 ⋅ 260 13,45 ⋅ 10 - 3 = 160 ⋅ 10 3 P a

p = 1,6   b a r

Passo 8

Por fim iremos calcular a geração de entropia, que é dada por:

S 2 - S 1 = ∫ 1 2 δ Q T + S g

Para relembrar temos que, num processo reversível, a variação de entropia é

S 2 - S 1 = ∫ 1 2 δ Q T

Mas esse processo não é reversível por isso adicionamos o termo de geração de entropia S g .

Como o processo é adiabático então a variação de entropia é igual a própria geração

∫ 1 2 δ Q T = 0

S 2 - S 1 = S g

A variação de entropia da mistura segue uma lógica parecida com a variação da energia interna:

Δ S = n O 2 Δ s - O 2 + n N 2 Δ s - N 2

Passo 9

Vamos calcular a entropia antes e depois sabendo que a entropia será função da temperatura e da pressão, dessa forma temos que:

S 1 = n c - p ln ⁡ T f T i

S 2 = n R - ln ⁡ y p f p i

Para o nitrogênio será:

Δ S N 2 = n N 2 c - p N 2 ln ⁡ T f T i - R - ln ⁡ y N 2 p f p i

y N 2 = 0,79 1 = 0,79

Δ S N 2 = 0,79 29,13 ln ⁡ 260 250 - 8,314 ln ⁡ 0,79 ⋅ 1,6 2

Δ S N 2 = 0,79 1,14 - - 3,82 = 3,91 k J K

para o oxigênio

Δ S O 2 = n O 2 c - p O 2 ln ⁡ T f T i - R - ln ⁡ y O 2 p f p i

y O 2 = 0,21 1 = 0 , 21

Δ S O 2 = 0,21 29 , 3 ln ⁡ 260 300 - 8,314 ln ⁡ 0,21 ⋅ 1,6 1

Δ S O 2 = 0 , 21 - 4,19 - - 9,07 = 1,02 k J K

portanto a geração será a soma Δ S N 2 + Δ S O 2

S g = 1,02 + 3,91 = 4,93 k J K

Resposta

T 2 = 260 K

p = 1,6   b a r

S g = 4,93 k J K

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