Distribuição Normal

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Teoria

Imagine a seguinte situação: Estamos fazendo uma experimento químico, para isso passamos por vários passos, tiramos um volume da amostra, pesamos, tiramos a temperatura, dissolvemos, preparamos um reagente..e por ai vai!

Cada pequeno passo que a gente da pode gerar diversos erros aleatórios, um errinho somado com outro que gera um erro significativo, mas lembrando que o mesmo experimento é repetido diversas vezes, qual é a probabilidade de todos os erros aconteceram ao mesmo tempo?!

É exatamente esse o espirito da coisa na distribuição normal!

Curva de distribuição padrão

Se um experimento, repetido várias vezes tiver apenas erros aleatórios, então os resultados tendem a se agrupar em torno de um valor médio!

Seguindo esse raciocínio a gente tem a curva de distribuição normal ou curva gaussiana:

A curva de distribuição normal é muito utilizada para modelar fenômenos naturais. Mas ai você me pergunta: “ o que fenômenos naturais tem a ver com análise de dados em um experimento químico?!”

Mas o que são fenômenos naturais se não eventos aleatórios!!

Segundo a curva de distribuição normal 68,3 % dos dados estão entre - 1 e + 1   desvio-padrão, 95,4 %   entre ± 2 σ e 99,7 %   entre ± 3 σ . A equação da curva é dada pela seguinte expressão:

y = e - x - μ 2 2 μ 2 σ 2 π

Parâmetros

Na curva de distribuição normal encontramos os parâmetros que queremos estimar nas análises estatísticas, a média da população μ e o desvio-padrão da população σ , que são fornecidos pelas seguintes equações:

μ = ∑ i = 1 N x i N

Diferente da média da amostra x - , aqui N é o número total de medidas de toda a população.

O desvio-padrão da população é dado por:

σ = ∑ i = 1 N x i - μ 2 N

Histograma

Uma forma de trazer a curva gaussiana um pouco mais pra realidade da estatística é fazendo um histograma. Por exemplo, ao analisar a concentração de óleo no mar por causa de um derramamento de óleo, poderiamos ter um histograma da seguinte forma:

Os dados obtidos foram organizados em faixas de ordem crescente e o eixo y mostra a porcentagem em que cada faixa aparece. A ideia é que quanto mais dados a gente tem mas o histograma fica com o formato parecido com a curva de distribuição normal!

A medida que N → ∞ então x - → μ !!

Os parâmetros são determinados pelas medidas da amostra, o desvio-padrão da amostra pode ser dado por:

s = ∑ i = 1 N x i - x - 2 N - 1

Ou:

s = ∑ i = 1 N d i 2 N - 1

E o quadrado do desvião-padrão da amostra é sua varância, s 2 que nada mais é do que outra forma de determinar precisão:

s 2 = ∑ i = 1 N d i 2 N - 1

Agora bora exercitar o que a gente aprendeu!!!

Parâmetros

Histograma

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

(Adaptado) Diferencie:

(a) Desvio-padrão de uma amostra e variância de uma amostra;

(b) Média da população e média da amostra;

Passo 1

Vamos começar com a diferença entre desvio-padrão de uma amostra ( s ) e a variância da amostra ( s 2 ) !

A gente consegue ver a diferença logo de cara só de olhar como a gente representa eles, a variância é nada mais nada menos que o quadrado do desvio-padrão. Assim como o desvio-padrão a variância representa uma medida de precisão!

Passo 2

A média da amostra ( x - ) é a média aritmética das medidas de um conjunto de amostras dada por:

x - = ∑ i = 1 N x i N

Enquanto a média da população ( μ ) é a média das medidas de toda a população, a sua fórmula é bem parecida:

μ = ∑ i = 1 N x i N

Muitas vezes é impossível calcular a média da população, mas a medida que o número de amostras N aumenta, x - se torna mais próximo de μ !

Resposta

  1. A variância da amostra é o quadrado do seu desvio-padrão;
  2. A média da população leva em conta todos os dados enquanto a média da amostra leva em conta apenas medidas selecionadas aletóriamente;

Exercício Resolvido #2

A partir de uma curva de erro gaussiana, qual a probabilidade de um resultado de

uma população estar contido entre 0 e + 1 σ em relação à média? Qual a probabilidade

de o resultado ocorrer entre + 1 σ e + 2 σ em relação à média?

Passo 1

Vamos começar dando uma olhadinha na curva de erro gaussiana!!

Sabendo que 68,3 % dos dados estão entre ±   1   σ , 95,4 %   entre ± 2 σ e 99,7 %   entre ± 3 σ ! Se 68,3 % dos dados estão em torno de ± 1 σ então a probabilidade do resultado esta entre 0 e + 1 σ é a metade deste:

p r o b a b i l i d a d e   e n t r e     0   e 1 σ = 68,3 % 2 = 34,15 %

Passo 2

Agora a gente pode dividir as regiões da curva:

% ± 2 σ - % ± 1 σ = 95,4 % - 68,3 % = 27,1 %

Logo 27,1 % da curva esta dividido entre - 2 σ e - 1 σ e + 1 σ e + 2 σ , para achar a probabilidade de um resultado de uma população estar contido entre + 1 σ e + 2 σ dividimos esse valor por 2 :

p r o b a b i l i d a d e   e n t r e + 1 σ   e + 2 σ = 27,1 % 2 = 13,55 %

Para vizualizamos melhor a curva segue a seguinte distribuição:

Aweee!!

Resposta

p r o b a b i l i d a d e   e n t r e     0   e 1 σ = 34,15 %

p r o b a b i l i d a d e   e n t r e + 1 σ   e + 2 σ = 13,55 %

Exercício Resolvido #3

(Adaptado) A espécie F e 2 + é determinada em amostras de minerais utilizando-se do K M n O 4 como titulante, em meio fortemente ácido. Sabendo-se que em determinado mineral o valor de referência para a espécie em questão é 20.0   p p m e que, um analista encontrou os seguintes resultados em sua análise 19,4 ;   19,5 ;   19,6 ;   19,8 ;   20,1 ;   20,3 em p p m de F e 2 + , pede-se determinar a média, o desvio padrão, a variância dos resultados obtidos.

Passo 1

O problema da pra a gente 6 medidas diferentes de concentração de F e 2 + e pede a média, o desvio padrão, a variância dos resultados!

Vamos começar calculando a média, que é dada por:

x - = ∑ i = 1 N x i N

Substituindo, temos:

x - = 19,4 + 19,5 + 19,6 + 19,8 + 20,1 + 20,3 6 = 19,8   p p m

Passo 2

O desvio padrão é dado por:

s = ∑ i = 1 N x i - x - 2 N - 1

Pra ficar mais organizadinho, vamos montar uma tabelinha!!

Agora ficou molezinha:

s = 0,6284 6 - 1 = 0,35   p p m

E pra acabar a variância é dada pelo quadrado do desvio padrão:

s 2 = 0,35 2 = 0,13   p p m

Awee, prontinho!!

Resposta

Média: x - = 19,8   p p m

Desvio padrão: s = 0,35   p p m

Variância: s 2 = 0,13   p p m

Exercício Resolvido #4

Os seguintes resultados foram obtidos na determinação do teor de Pb em uma amostra de sangue. Encontre a média o desvio padrão. Os dados estão em ppm de Pb

Passo 1

Temos aqui cinco medidas e precismoas calcular a média e o desvio padrão, vamos começar pela média através da fórmula abaixo:

x - = ∑ i = 1 N x i N

Substituindo, temos:

x - = 0,752 + 0,756 + 0,752 + 0,751 + 0,760 5 = 0,754   p p m

Passo 2

O desvio padrão é dado por:

s = ∑ i = 1 N x i - x - 2 N - 1

O desvio padrão é sempre legal calcular através da tabelinha abaixo, para não nos pedermos no meio de tantos numeros

Agora só colocar a soma dos quadrados das diferenças na fórmula e dividir pelo tamanho da amostra menos um:

s = 0,000057 5 - 1 = 0 , 00 377   p p m

SUCESSO!

Resposta

x - = 0,754   p p m

s = 0,00377   p p m